Nos exercícios abaixo, encontre
por derivação implícita.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos
usando derivação implícita na equação
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas implícitas, que é um método usado quando y está ligado a x de forma complicada e queremos encontrar a taxa de variação de y em relação a t. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e derivar cada termo em relação a t.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação
em relação a t. Lembrando que tanto x quanto y são funções de t, então quando derivamos termos que envolvem y, temos que multiplicar pela
devido à regra da cadeia.
Passo 3
Vamos começar derivando
:
Aqui, usamos a regra do poder e multiplicamos pelo
porque y é uma função de t.
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Aqui, usamos a regra do produto, já que temos dois fatores que dependem de t:
Então, cada parte do produto é derivada separadamente e somada.
Passo 5
Derivando o lado direito da equação, temos:
A derivada de uma constante (4) é zero.
Passo 6
Agora, juntando todas as derivadas que calculamos, a equação fica:
Nosso objetivo é isolar
.
Passo 7
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Agora, subtraímos
de ambos os lados:
Passo 8
Fatorando
do lado direito:
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Exercícios relacionados
Mostre que existe
tal que
. Sugestão: use o Teorema do Valor Intermediário.
Calcule os limites:
.
Calcule a derivada.
.
Calcule a derivada.
.