Nos exercícios abaixo, encontre por derivação implícita.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos usando derivação implícita na equação . Aqui, estamos trabalhando com derivadas implícitas, que é um método usado quando y está ligado a x de forma complicada e queremos encontrar a taxa de variação de y em relação a t. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e derivar cada termo em relação a t.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a t. Lembrando que tanto x quanto y são funções de t, então quando derivamos termos que envolvem y, temos que multiplicar pela devido à regra da cadeia.

Passo 3

Vamos começar derivando :
Aqui, usamos a regra do poder e multiplicamos pelo porque y é uma função de t.

Passo 4

Agora, vamos derivar . Aqui, usamos a regra do produto, já que temos dois fatores que dependem de t:
Então, cada parte do produto é derivada separadamente e somada.

Passo 5

Derivando o lado direito da equação, temos:
A derivada de uma constante (4) é zero.

Passo 6

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos, a equação fica:
Nosso objetivo é isolar .

Passo 7

Vamos agrupar os termos que contêm :
Agora, subtraímos de ambos os lados:

Passo 8

Fatorando do lado direito:
Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

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Mostre que existe tal que . Sugestão: use o Teorema do Valor Intermediário.
Calcule os limites: .
Calcule a derivada. .
Calcule a derivada. .