Calcule a derivada. f(x) = ((7t + 1) / (2t^2 + 3))^3 + sen^3(3t^2 + 6t).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar a regra da cadeia para derivar funções compostas e a regra do quociente para derivar frações. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a parte .
A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta, como , a derivada é . Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular , a derivada de . Usamos a regra do quociente: se , então .
Aqui:
  • então
  • então
Assim,

Passo 4

Voltando à primeira parte, aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos derivar a segunda parte: .
Usamos novamente a regra da cadeia. Se temos , a derivada é , onde .

Passo 6

Calculando .
Então,

Passo 7

Finalmente, juntando as duas derivadas que calculamos:

Resposta

A derivada da função é:

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