Calcule a derivada: f(t) = (3/5 * t - 1) / (2/t^2 + 7)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve cálculo diferencial, mais especificamente a regra da derivada para quocientes de funções. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função: o numerador e o denominador. No caso, o numerador é e o denominador é . A regra do quociente diz que a derivada de uma função que é um quociente de duas funções é dada por:
Então, vamos identificar e e encontrar suas derivadas.

Passo 3

Vamos encontrar e sua derivada :
A derivada de em relação a é:
Porque a derivada de é 1 e a constante desaparece.

Passo 4

Agora, vamos para e sua derivada :
Para derivar , reescrevemos como . A derivada de é , então:
A derivada de uma constante como 7 é zero.

Passo 5

Agora que temos , , e , vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. Multiplicando por :
  1. Multiplicando por :
  1. Agora, somamos os resultados:

Passo 7

Agora, colocando tudo de volta na fórmula da derivada:
Esse é o resultado final da derivada da função .

Resposta

A derivada de é:

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