9^a Questão: Acumula-se areia em um monte de forma cônica, à taxa de 10 dm^3/min. Se a altura do monte é sempre igual a duas vezes o raio da base, a que taxa cresce a altura do monte quando esta é igual a 8 dm ?

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre um monte de areia em forma de cone que está crescendo. A areia está sendo adicionada à taxa de . Sabemos que a altura do cone ( ) é sempre duas vezes o raio da base ( ). Nossa missão é descobrir a que velocidade a altura ( ) está crescendo quando . Para resolver isso, vamos usar Cálculo Diferencial, mais especificamente, relações de taxas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar o volume do cone com sua altura e raio. A fórmula do volume ( ) de um cone é:
Sabemos que , então vamos usar isso para expressar tudo em termos de uma única variável.

Passo 3

Vamos substituir por na fórmula do volume:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a taxa de variação da altura em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a equação do volume em relação ao tempo:

Passo 5

Sabemos que e queremos encontrar quando . Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 6

Agora, isolamos :

Resposta

A altura do monte está crescendo a uma taxa de quando .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada: w(s) = (3 s)^4
Calcule a derivada: k(x) = (3 x)^-4
Calcule a derivada: s(x) = (3 x + 1)^{-2}
Calcule a derivada: f(t) = (3/5 * t - 1) / (2/t^2 + 7)