Questão: Acumula-se areia em um monte de forma cônica, à taxa de 10 dm^3/min. Se a altura do monte é sempre igual a duas vezes o raio da base, a que taxa cresce a altura do monte quando esta é igual a 8 dm ?
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre um monte de areia em forma de cone que está crescendo. A areia está sendo adicionada à taxa de . Sabemos que a altura do cone () é sempre duas vezes o raio da base (). Nossa missão é descobrir a que velocidade a altura () está crescendo quando . Para resolver isso, vamos usar Cálculo Diferencial, mais especificamente, relações de taxas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar o volume do cone com sua altura e raio. A fórmula do volume () de um cone é:
Sabemos que , então vamos usar isso para expressar tudo em termos de uma única variável.
Passo 3
Vamos substituir por na fórmula do volume:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a taxa de variação da altura em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a equação do volume em relação ao tempo:
Passo 5
Sabemos que e queremos encontrar quando . Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 6
Agora, isolamos :
Resposta
A altura do monte está crescendo a uma taxa de quando .