Calcule a derivada. f(x) = 1/2 * (a + b * x)^(ln(a + b * x)) + e^(2 * x) * cos(3 * x)^4, onde a e b são constantes positivas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, vamos usar conceitos de derivadas como a regra do produto, a regra da cadeia e derivadas de funções exponenciais e trigonométricas. Vamos precisar entender como derivar potências com expoentes que também são funções de e como lidar com funções compostas.

Passo 2

Vamos começar diferenciando o primeiro termo: .
Primeiro, vamos simplificar:
Para derivar , usamos a regra da cadeia. Lembre-se que se temos , a derivada é:
Aqui, e .
Primeiro, encontramos e :
Agora aplicamos a fórmula:

Passo 3

Agora, vamos derivar o segundo termo: .
Chamemos esse termo de :
Aqui, precisamos usar a regra do produto, já que temos uma multiplicação de duas funções: e .
A regra do produto diz que:
Primeiro, encontramos as derivadas de cada parte:
Para derivar , usamos a regra da cadeia novamente. Escrevemos como :
Agora aplicamos a regra do produto:

Resposta

A derivada de é:

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