Calcule a derivada. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! O enunciado pede para calcular a derivada da função:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções complexas que envolvem funções trigonométricas, logaritmos e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, a regra do produto e conhecer bem as derivadas das funções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas de cada função individualmente. Ou seja:
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro termo:
Para derivar , usamos a regra da cadeia. Primeiro, consideramos , então a função é . A derivada será:
Agora, . Sabemos que para no intervalo a , então . Portanto, a derivada do primeiro termo é:

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo:
Aqui, usamos a regra do produto, que diz que . Vamos definir:
  • , então
  • , precisamos derivar isso.
Primeiro, derivamos :
Agora, vamos derivar . Para isso, derivamos :
Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de é . Vamos chamar , então:
Sabemos que . Então:
Agora, juntando tudo:
Simplificando os sinais:
Portanto, a derivada do segundo termo é:

Passo 5

Por fim, vamos derivar o terceiro termo:
Aqui, temos uma função da forma , onde . A derivada dessa forma é:
Vamos calcular :
Agora, substituindo na fórmula da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule a derivada. , onde e são constantes positivas.
Calcule a derivada. .
Calcule a derivada. .
Calcule a derivada. .