Calcule a derivada.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! O enunciado pede para calcular a derivada da função:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções complexas que envolvem funções trigonométricas, logaritmos e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, a regra do produto e conhecer bem as derivadas das funções básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas de cada função individualmente. Ou seja:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro termo:
Para derivar , usamos a regra da cadeia. Primeiro, consideramos , então a função é
. A derivada será:
Agora, . Sabemos que para
no intervalo
a
, então
. Portanto, a derivada do primeiro termo é:
Passo 4
Agora, vamos derivar o segundo termo:
Aqui, usamos a regra do produto, que diz que
. Vamos definir:
-
, então - , precisamos derivar isso.
Primeiro, derivamos
:
Agora, vamos derivar
. Para isso, derivamos
:
Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de
é
. Vamos chamar , então:
Sabemos que . Então:
Agora, juntando tudo:
Simplificando os sinais:
Portanto, a derivada do segundo termo é:
Passo 5
Por fim, vamos derivar o terceiro termo:
Aqui, temos uma função da forma
, onde
. A derivada dessa forma é:
Vamos calcular
:
Agora, substituindo na fórmula da derivada:
Resposta
A derivada da função é:
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Calcule a derivada.
, onde
e
são constantes positivas.
Calcule a derivada.
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Calcule a derivada.
.
Calcule a derivada.
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