Calcule a derivada de f(x)=x^2+2 x usando a definição de derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos achar a derivada da função $ f(x) = x^{2} + 2x $ usando a definição de derivada. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas. Para isso, vamos usar a fórmula básica da derivada pelo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em relação a $ x $ é dada por:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular $ f(x + h) $. Substituindo $ x $ por $ x + h $ na função original:
f(x + h)

Passo 4

Vamos expandir a expressão $ (x + h)^{2} $:
(x + h)^2
Então, substituindo de volta:
(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2

Passo 5

Agora, vamos calcular $ f(x + h) - f(x) $:
f(x + h) - f(x)
Simplificando:
f(x + h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h) - (x^2 + 2x)

Passo 6

Vamos substituir essa diferença na definição da derivada:
f'(x) = limh to 0 2xh + h^2 + 2hh
Podemos simplificar dividindo cada termo por $ h $:
h

Passo 7

Agora, aplicamos o limite quando $ h $ tende a 0:
h

Resposta

A derivada de $ f(x) = x^{2} + 2x $ é $ f’(x) = 2x + 2 $.

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