Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y=x^2+1 no ponto (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ y = x^{2} + 1 $ no ponto $ (1, 2) $. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. Uma reta tangente a uma curva em um ponto específico é uma reta que “toca” a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos saber duas coisas: a coordenada do ponto de tangência e a inclinação da reta nesse ponto.

Passo 3

Sabemos que o ponto de tangência é $ (1, 2) $, já fornecido no enunciado. Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos usar a derivada da função $ y = x^{2} + 1 $.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ y = x^{2} + 1 $. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $.
A derivada de $ y = x^{2} + 1 $ é:
y = x^2 + 1

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $. Substituímos $ x $ por 1 na derivada:
x = 1
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 2.

Passo 6

Com a inclinação $ m = 2 $ e o ponto $ (1, 2) $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação, que é:
m = 2
Onde $ (x_{1}, y_{1}) $ é o ponto de tangência.

Passo 7

Substituindo os valores que temos:
y - 2 = 2(x - 1)
Agora, vamos simplificar essa equação para obter a forma mais simples da reta.

Passo 8

Distribuindo o 2 na equação:
y - 2 = 2x - 2
Agora, somamos 2 em ambos os lados para isolar o $ y $:
y

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de $ y = x^{2} + 1 $ no ponto $ (1, 2) $ é $ y = 2x $.

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