Uma partícula se move ao longo de uma reta com função posição s(t)=t^3-6 t^2+9 t+1, onde s é medido em metros e t em segundos.
a) Encontre a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes t=1 e t=3.
b) Em que instante a partícula está instantaneamente em repouso?
c) Em que intervalo de tempo a partícula está se movendo para a direita? E para a esquerda?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula que se desloca em linha reta com a função posição $ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 1 $, onde $ s $ está em metros e $ t $ em segundos. Vamos precisar entender como encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição, além de analisar o movimento da partícula.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a velocidade da partícula, precisamos calcular a derivada da função posição em relação ao tempo. A derivada da posição nos dá a velocidade. Então, vamos derivar $ s(t) $:
s(t)

Passo 3

Agora, para achar a aceleração, que é a taxa de variação da velocidade, derivamos novamente a função velocidade:
a(t) = dvdt = 6t - 12

Passo 4

Vamos calcular a velocidade e a aceleração nos instantes $ t = 1 $ e $ t = 3 $.
Para $ t = 1 $:
t = 1
t = 3
Para $ t = 3 $:
t = 1
v(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 9 = 3 - 12 + 9 = 0 , m/s

Passo 5

Agora, para a parte b), queremos saber quando a partícula está instantaneamente em repouso. Isso acontece quando a velocidade é zero. Já vimos que $ v(t) = 3t^2 - 12t + 9 $. Vamos resolver $ v(t) = 0 $:
v(t) = 3t^2 - 12t + 9
Dividindo todos os termos por 3:
v(t) = 0
Fatorando:
3t^2 - 12t + 9 = 0
Então, $ t = 1 $ ou $ t = 3 $ segundos.

Passo 6

Por fim, na parte c), precisamos determinar em quais intervalos de tempo a partícula está se movendo para a direita ou para a esquerda. Para isso, analisamos o sinal da velocidade $ v(t) $.
Sabemos que:
v(t)
  • Para $ t < 1 $: Escolha $ t = 0 $. $ v(0) = 3(0 -1)(0 -3) = 3(-1)(-3) = 9 > 0 $. Então, a partícula está se movendo para a direita.
  • Para $ 1 < t < 3 $: Escolha $ t = 2 $. $ v(2) = 3(2 -1)(2 -3) = 3(1)(-1) = -3 < 0 $. Então, a partícula está se movendo para a esquerda.
  • Para $ t > 3 $: Escolha $ t = 4 $. $ v(4) = 3(4 -1)(4 -3) = 3(3)(1) = 9 > 0 $. Então, a partícula está se movendo para a direita.

Resposta

a) Nos instantes $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos, a velocidade é 0 m/s. A aceleração é -6 m/s² em $ t = 1 $ e 6 m/s² em $ t = 3 $.
b) A partícula está instantaneamente em repouso nos instantes $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos.
c) A partícula está se movendo para a direita nos intervalos $ t < 1 $ e $ t > 3 $ segundos, e para a esquerda no intervalo $ 1 < t < 3 $ segundos.

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