Uma partícula se move ao longo de uma reta com função posição
, onde
é medido em metros e
em segundos.
a) Encontre a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes
e
.
b) Em que instante a partícula está instantaneamente em repouso?
c) Em que intervalo de tempo a partícula está se movendo para a direita? E para a esquerda?
a) Encontre a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes
b) Em que instante a partícula está instantaneamente em repouso?
c) Em que intervalo de tempo a partícula está se movendo para a direita? E para a esquerda?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula que se desloca em linha reta com a função posição $ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 1 $, onde $ s $ está em metros e $ t $ em segundos. Vamos precisar entender como encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição, além de analisar o movimento da partícula.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a velocidade da partícula, precisamos calcular a derivada da função posição em relação ao tempo. A derivada da posição nos dá a velocidade. Então, vamos derivar $ s(t) $:
Passo 3
Agora, para achar a aceleração, que é a taxa de variação da velocidade, derivamos novamente a função velocidade:
Passo 4
Vamos calcular a velocidade e a aceleração nos instantes $ t = 1 $ e $ t = 3 $.
Para $ t = 1 $:
Para $ t = 3 $:
Passo 5
Agora, para a parte b), queremos saber quando a partícula está instantaneamente em repouso. Isso acontece quando a velocidade é zero. Já vimos que $ v(t) = 3t^2 - 12t + 9 $. Vamos resolver $ v(t) = 0 $:
Dividindo todos os termos por 3:
Fatorando:
Então, $ t = 1 $ ou $ t = 3 $ segundos.
Passo 6
Por fim, na parte c), precisamos determinar em quais intervalos de tempo a partícula está se movendo para a direita ou para a esquerda. Para isso, analisamos o sinal da velocidade $ v(t) $.
Sabemos que:
- Para $ t < 1 $: Escolha $ t = 0 $. $ v(0) = 3(0 -1)(0 -3) = 3(-1)(-3) = 9 > 0 $. Então, a partícula está se movendo para a direita.
- Para $ 1 < t < 3 $: Escolha $ t = 2 $. $ v(2) = 3(2 -1)(2 -3) = 3(1)(-1) = -3 < 0 $. Então, a partícula está se movendo para a esquerda.
- Para $ t > 3 $: Escolha $ t = 4 $. $ v(4) = 3(4 -1)(4 -3) = 3(3)(1) = 9 > 0 $. Então, a partícula está se movendo para a direita.
Resposta
a) Nos instantes $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos, a velocidade é 0 m/s. A aceleração é -6 m/s² em $ t = 1 $ e 6 m/s² em $ t = 3 $.
b) A partícula está instantaneamente em repouso nos instantes $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos.
c) A partícula está se movendo para a direita nos intervalos $ t < 1 $ e $ t > 3 $ segundos, e para a esquerda no intervalo $ 1 < t < 3 $ segundos.