Seja uma função tal que para todo . Mostre que é diferenciável em 0 e que . (Sugestão: use o teorema do sanduíche)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que satisfaz para todo . O objetivo é mostrar que é diferenciável em 0 e que . Para isso, vamos usar o Teorema do Sanduíche, que ajuda a determinar limites quando uma função está “presa” entre duas outras funções cujo limite é conhecido.
Passo 2
Para mostrar que é diferenciável em 0, precisamos provar que o limite
existe. Como queremos encontrar , assumimos que (pois , então ).
Passo 3
Então, o limite que precisamos calcular fica:
Sabemos que , então podemos dividir todos os lados dessa desigualdade por (desde que ) para obter:
Passo 4
Agora, analisamos os limites das funções que estão “abraçando” :
Como está entre e , pelo Teorema do Sanduíche, o limite de também será 0.
Passo 5
Portanto, temos que:
Isso mostra que é diferenciável em 0 e que a derivada em 0 é 0.