Calcule: a derivada de ;

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos encontrar a derivada da função . Para resolver isso, vamos usar regras de derivação como a Regra da Cadeia e a Regra do Produto, além de conhecer as derivadas de funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos uma função composta elevada à quarta potência. Para derivar isso, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. No nosso caso, a função externa é algo elevado à quarta potência e a interna é .

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de é . Aplicando isso à nossa função:

Passo 4

Agora, precisamos derivar a parte interna . A derivada de uma soma é a soma das derivadas das partes. Então:

Passo 5

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de :
    Aqui usamos a Regra do Produto, que é para derivar o produto de duas funções. Se e , então:
  2. Derivada de :
    Sabemos que a derivada de é simplesmente .

Passo 6

Juntando as derivadas dos termos internos:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão da derivada da função original:

Resposta

A derivada de é:

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