A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função , onde representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de e encontre os pontos de máximo e/ou mínimo relativos de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a função de lucro total da companhia IME LTDA, que é dada por , onde é a quantidade produzida. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de funções, especificamente derivadas para encontrar intervalos de crescimento e decrescimento, além de pontos de máximo e mínimo relativos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função para identificar onde ela está aumentando ou diminuindo. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a .
Então, vamos calcular :
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 3

Vamos simplificar :
Podemos fatorar o 6:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde :
Isso ocorre quando:
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 5

Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal de nos intervalos determinados pelos pontos críticos. Dividimos a reta real em três intervalos:
Vamos escolher um valor teste em cada intervalo e verificar o sinal de :
  • Para , digamos :
    Então, está crescendo nesse intervalo.
  • Para , digamos :
    Então, está decrescendo nesse intervalo.
  • Para , digamos :
    Então, está crescendo nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo relativos usando o teste de derivada primeira:
  • Em :
    • Antes de 2, (crescendo)
    • Depois de 2, (decrescendo)
    Como a função passa de crescente para decrescente, é um ponto de máximo relativo.
  • Em :
    • Antes de 6, (decrescendo)
    • Depois de 6, (crescendo)
    Como a função passa de decrescente para crescente, é um ponto de mínimo relativo.

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e está decrescendo no intervalo . Além disso, possui um ponto de máximo relativo em e um ponto de mínimo relativo em .

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A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função , onde representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Considere o esboço do gráfico feito no item anterior. Se restringirmos o domínio de ao intervalo , qual a melhor quantidade a ser produzida?
A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função , onde representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Encontre os pontos críticos de ;
A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função , onde representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Esboce o gráfico de , indicando os pontos em que intercepta o eixo , , os pontos críticos e os pontos de inflexão.
Calcule: a derivada de ;