A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
e encontre os pontos de máximo e/ou mínimo relativos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a função de lucro total da companhia IME LTDA, que é dada por
, onde
é a quantidade produzida. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de funções, especificamente derivadas para encontrar intervalos de crescimento e decrescimento, além de pontos de máximo e mínimo relativos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função
para identificar onde ela está aumentando ou diminuindo. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a
.
Então, vamos calcular
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 3
Vamos simplificar
:
Podemos fatorar o 6:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
:
Isso ocorre quando:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 5
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos. Dividimos a reta real em três intervalos:
Vamos escolher um valor teste em cada intervalo e verificar o sinal de
:
-
Para
, digamos : Então,está crescendo nesse intervalo. -
Para
, digamos : Então,está decrescendo nesse intervalo. -
Para
, digamos : Então,está crescendo nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo relativos usando o teste de derivada primeira:
-
Em
: - Antes de 2,
(crescendo) - Depois de 2,
(decrescendo)
Como a função passa de crescente para decrescente,é um ponto de máximo relativo. - Antes de 2,
-
Em
: - Antes de 6,
(decrescendo) - Depois de 6,
(crescendo)
Como a função passa de decrescente para crescente,é um ponto de mínimo relativo. - Antes de 6,
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
, e está decrescendo no intervalo
. Além disso, possui um ponto de máximo relativo em
e um ponto de mínimo relativo em
.
Exercícios relacionados
A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Considere o esboço do gráfico feito no item anterior. Se restringirmos o domínio de
ao intervalo
, qual a melhor quantidade a ser produzida?
A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Encontre os pontos críticos de
;
A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Esboce o gráfico de
, indicando os pontos em que intercepta o eixo
,
, os pontos críticos e os pontos de inflexão.
Calcule: a derivada de
;