Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Resolvendo a equação (2) para :

Passo 5

Substituímos o valor de encontrado na equação (1) para encontrar :

Passo 6

Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 7

Para classificar esse ponto crítico, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:

Passo 8

Calculamos o determinante da matriz Hessiana:

Passo 9

Analisando o valor de :
  • Se e : mínimo local
  • Se e : máximo local
  • Se : ponto de sela
  • Se : teste inconclusivo
No nosso caso, , portanto, o ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função possui um ponto de sela em .

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