Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Resolvendo a equação (2) para
:
Passo 5
Substituímos o valor de
encontrado na equação (1) para encontrar
:
Passo 6
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 7
Para classificar esse ponto crítico, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 8
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Passo 9
Analisando o valor de
:
- Se
e : mínimo local - Se
e : máximo local - Se
: ponto de sela - Se
: teste inconclusivo
No nosso caso,
, portanto, o ponto é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
.
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Esboce o campo vetorial
desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes:
Calcule: a derivada de
;
Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:
Encontre os máximos e mínimos absolutos das funções no conjunto
:
é a região triangular no primeiro quadrante limitada pelas retas
e
.