A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Esboce o gráfico de
, indicando os pontos em que intercepta o eixo
,
, os pontos críticos e os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A empresa IME LTDA tem uma função de lucro total dada por
, onde
é a quantidade produzida. Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função, identificando onde ela intercepta os eixos
e
, além de encontrar os pontos críticos e de inflexão. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra e cálculo, como fatoração, derivadas e análise de gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos
e
.
Interceptação com o eixo
:
Para encontrar onde a função intercepta o eixo , colocamos
:
Para encontrar onde a função intercepta o eixo
Isso acontece quando
ou
. Então,
Então, os pontos de interseção com o eixo
são
e
.
Interceptação com o eixo
:
Para encontrar onde a função intercepta o eixo , colocamos
:
Para encontrar onde a função intercepta o eixo
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os pontos onde a derivada primeira da função é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem indicar máximos, mínimos ou pontos de sela.
Primeiro, vamos calcular a derivada primeira de
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Isso acontece quando
ou
.
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos agora determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos.
Para isso, vamos calcular a derivada segunda de
:
Aplicando a regra do produto:
Agora, avaliamos a derivada segunda nos pontos críticos:
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade do gráfico muda. Isso ocorre onde a derivada segunda é igual a zero.
Resolvendo para
:
Então, existe um ponto de inflexão em
.
Para encontrar a coordenada
desse ponto, substituímos
na função original:
Portanto, o ponto de inflexão é
.
Resposta
Resumindo, o gráfico da função
intercepta o eixo
nos pontos
e
, e intercepta o eixo
no ponto
. Os pontos críticos são
que é um máximo local e
que é um mínimo local. Além disso, há um ponto de inflexão em
.
Exercícios relacionados
A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
e encontre os pontos de máximo e/ou mínimo relativos de
A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Considere o esboço do gráfico feito no item anterior. Se restringirmos o domínio de
ao intervalo
, qual a melhor quantidade a ser produzida?
Calcule: a derivada de
;
Esboce o campo vetorial
desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes: