A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função , onde representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Esboce o gráfico de , indicando os pontos em que intercepta o eixo , , os pontos críticos e os pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A empresa IME LTDA tem uma função de lucro total dada por , onde é a quantidade produzida. Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função, identificando onde ela intercepta os eixos e , além de encontrar os pontos críticos e de inflexão. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra e cálculo, como fatoração, derivadas e análise de gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos e .
Interceptação com o eixo :
Para encontrar onde a função intercepta o eixo , colocamos :
Isso acontece quando ou . Então,
Então, os pontos de interseção com o eixo são e .
Interceptação com o eixo :
Para encontrar onde a função intercepta o eixo , colocamos :
Então, o ponto de interseção com o eixo é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os pontos onde a derivada primeira da função é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem indicar máximos, mínimos ou pontos de sela.
Primeiro, vamos calcular a derivada primeira de :
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Isso acontece quando ou .
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos agora determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos.
Para isso, vamos calcular a derivada segunda de :
Aplicando a regra do produto:
Agora, avaliamos a derivada segunda nos pontos críticos:
Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo local.
Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo local.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade do gráfico muda. Isso ocorre onde a derivada segunda é igual a zero.
Resolvendo para :
Então, existe um ponto de inflexão em .
Para encontrar a coordenada desse ponto, substituímos na função original:
Portanto, o ponto de inflexão é .

Resposta

Resumindo, o gráfico da função intercepta o eixo nos pontos e , e intercepta o eixo no ponto . Os pontos críticos são que é um máximo local e que é um mínimo local. Além disso, há um ponto de inflexão em .

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Calcule: a derivada de ;
Esboce o campo vetorial desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes: