Calcule a derivada

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções que são produtos de duas funções e como lidar com logaritmos de funções mais complexas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que é um produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de . É simples: a derivada de é 1, ou seja, .

Passo 4

Agora, precisamos derivar . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. Primeiro, lembramos que a derivada de em relação a é , então:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Isso é uma função racional, então usamos a regra do quociente, que diz que:
Onde e . Então:
Aplicando a regra:

Passo 6

Voltando à derivada de :

Passo 7

Agora temos todas as partes para aplicar a regra do produto. Lembrando que :

Resposta

A derivada de é:

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