Calcule (dica: encontre uma fórmula usando exponencial, )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções exponenciais. Precisamos lembrar que podemos reescrever funções exponenciais com bases diferentes usando a base , que é a base natural dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando a base . Sabemos que qualquer função exponencial pode ser escrita como . Assim, temos:
Isso facilita a derivação porque estamos usando a base , que tem propriedades matemáticas mais simples para derivar.

Passo 3

Agora que a função está na forma , podemos aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada. A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta como , a derivada é .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à nossa função:
A derivada de em relação a é simplesmente , já que é uma constante.

Passo 5

Substituindo de volta, temos:
Então, a derivada de é:

Resposta

A derivada de é .

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Calcule a derivada
Esboce o gráfico de e destaque
a) O domínio de
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento;
c) Concavidade e ponto de inflexão;
d) Limites para e ;
e) As raízes de .
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