Determine as integrais
integral e^2 x x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente está trabalhando com cálculo, mais especificamente com técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar usar a integração por partes, que é uma ferramenta poderosa para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente escolhe e de forma que a integral fique mais fácil de resolver depois.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = x^3 e dv = e^2x , dx
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

Calculando du = ddx(x^3) , dx = 3x^2 , dx :
v = integral e^2x , dx = 12 e^2x
E para encontrar , vamos integrar :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral e^2x x^3 , dx = uv - integral v , du = x^3 cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot 3x^2 , dx
Simplificando:
= 12 x^3 e^2x - 32 integral e^2x x^2 , dx

Passo 6

Agora, a gente tem uma nova integral u = x^2 e dv = e^2x , dx para resolver. Vamos aplicar novamente a integração por partes, seguindo o mesmo processo.
Escolhemos:
du = 2x , dx
Calculando v = 12 e^2x :
E :

Passo 7

Aplicando a fórmula:
integral e^2x x^2 , dx = x^2 cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot 2x , dx
Simplificando:
= 12 x^2 e^2x - integral e^2x x , dx

Passo 8

Agora, nos resta resolver u = x e dv = e^2x , dx . Vamos usar mais uma vez a integração por partes.
Escolhemos:
du = dx
Calculando v = 12 e^2x :
E :

Passo 9

Aplicando a fórmula:
integral e^2x x , dx = x cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x , dx
Simplificando:
= 12 x e^2x - 14 e^2x

Passo 10

Voltando ao passo anterior, temos:
integral e^2x x^2 , dx = 12 x^2 e^2x - ( 12 x e^2x - 14 e^2x )
Simplificando os termos:
= 12 x^2 e^2x - 12 x e^2x + 14 e^2x

Passo 11

Agora, voltamos ao passo 5, onde tínhamos:
integral e^2x x^3 , dx = 12 x^3 e^2x - 32 ( 12 x^2 e^2x - 12 x e^2x + 14 e^2x )
Distribuindo o = 12 x^3 e^2x - 34 x^2 e^2x + 34 x e^2x - 38 e^2x :

Resposta

Portanto, a integral de integral e^2x x^3 , dx = 12 x^3 e^2x - 34 x^2 e^2x + 34 x e^2x - 38 e^2x + C em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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