Calcule a derivada de f(x) = 5 ln(x + e^x) + cos(1/x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! A questão pede para calcular a derivada da função . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as regras da derivação como a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a derivação:
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo: .
A derivada de em relação a é . Aqui, , então precisamos encontrar .
Derivando :
Agora, aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo: .
A derivada de em relação a é . Aqui, , então precisamos encontrar .
Derivando :
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, juntamos as duas derivadas que encontramos:

Resposta

A derivada de é:

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