Encontre os máximos e mínimos absolutos da função na placa triangular de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os máximos e mínimos absolutos da função dentro de um triângulo com vértices em , e . Isso envolve cálculo de derivadas para encontrar pontos críticos e analisar as bordas do triângulo. Vamos precisar usar derivadas parciais e estudar o comportamento da função nas fronteiras da região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro da região triangular. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos onde a inclinação é nula:
Portanto, temos um ponto crítico em . Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro do triângulo.

Passo 3

Vamos verificar se o ponto está dentro do triângulo com vértices , e . Observando as coordenadas, percebemos que está entre 0 e 5, e está entre 0 e 4. Além disso, o ponto está abaixo da hipotenusa que vai de a . Portanto, está dentro da região triangular.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
Então, .

Passo 5

Em seguida, precisamos analisar as bordas do triângulo para encontrar possíveis máximos e mínimos. As bordas são:
  1. (linha entre e )
  2. (linha entre e )
  3. A hipotenusa que vai de a , cuja equação é
Vamos analisar cada uma dessas bordas separadamente.

Passo 6

Borda 1:
Substituímos na função :
Agora, temos uma função univariada definida no intervalo . O máximo ocorre em e o mínimo em :

Passo 7

Borda 2:
Substituímos na função :
Temos a função definida no intervalo . O máximo ocorre em e o mínimo em :

Passo 8

Borda 3:
Substituímos essa expressão de na função :
Vamos simplificar:
Agora, para encontrar os extremos dessa função quadrática, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Como e está dentro desse intervalo, avaliamos nesse ponto:
Calculando:
Aproximadamente, .
Também avaliamos os pontos nas extremidades dessa borda:

Passo 9

Agora, vamos resumir todos os valores que encontramos:
  • Ponto crítico interno: com
  • Borda :
    • :
    • :
  • Borda :
    • :
    • :
  • Borda :
    • Ponto :
    • :
    • :

Resposta

O máximo absoluto da função é aproximadamente , atingido nos pontos e . O mínimo absoluto é , atingido no ponto .

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