Encontre os máximos e mínimos absolutos da função
na placa triangular de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os máximos e mínimos absolutos da função
dentro de um triângulo com vértices em
,
e
. Isso envolve cálculo de derivadas para encontrar pontos críticos e analisar as bordas do triângulo. Vamos precisar usar derivadas parciais e estudar o comportamento da função nas fronteiras da região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro da região triangular. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos onde a inclinação é nula:
Portanto, temos um ponto crítico em
. Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro do triângulo.
Passo 3
Vamos verificar se o ponto
está dentro do triângulo com vértices
,
e
. Observando as coordenadas, percebemos que
está entre 0 e 5, e
está entre 0 e 4. Além disso, o ponto está abaixo da hipotenusa que vai de
a
. Portanto,
está dentro da região triangular.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função
nesse ponto crítico:
Então,
.
Passo 5
Em seguida, precisamos analisar as bordas do triângulo para encontrar possíveis máximos e mínimos. As bordas são:
-
(linha entre e ) -
(linha entre e ) - A hipotenusa que vai de
a , cuja equação é
Vamos analisar cada uma dessas bordas separadamente.
Passo 6
Borda 1:
Substituímos
na função
:
Agora, temos uma função univariada
definida no intervalo
. O máximo ocorre em
e o mínimo em
:
Passo 7
Borda 2:
Substituímos
na função
:
Temos a função
definida no intervalo
. O máximo ocorre em
e o mínimo em
:
Passo 8
Borda 3:
Substituímos essa expressão de
na função
:
Vamos simplificar:
Agora, para encontrar os extremos dessa função quadrática, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Como
e
está dentro desse intervalo, avaliamos
nesse ponto:
Calculando:
Aproximadamente,
.
Também avaliamos os pontos nas extremidades dessa borda:
Passo 9
Agora, vamos resumir todos os valores que encontramos:
- Ponto crítico interno:
com - Borda
: -
: -
:
-
- Borda
: -
: -
:
-
- Borda
: - Ponto
: -
: -
:
- Ponto
Resposta
O máximo absoluto da função
é aproximadamente
, atingido nos pontos
e
. O mínimo absoluto é
, atingido no ponto
.