Considerando o cálculo do limite
, determine se as seguintes justificativas são corretas ou erradas.
(A) Como
, então
, pois
.
(B) Como
, então
, pois operações envolvendo infinito resultam em infinito.
© Como
, então não existe o limite
.
(D) Reescrevendo a função, segue que
.
(E) Como
, e as funções envolvidas são deriváveis, podemos usar a Regra de L
(A) Como
(B) Como
© Como
(D) Reescrevendo a função, segue que
(E) Como
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite
e verificar se as justificativas de (A) a (E) estão corretas ou erradas. Vamos usar conceitos de cálculo de limites, principalmente envolvendo funções polinomiais e propriedades dos limites.
Passo 2
Opção (A):
Justificativa:
Como , então
, pois
.
Justificativa:
Como
Análise:
Aqui, o aluno usa uma propriedade de limites que permite dividir os limites das funções no numerador e denominador. Quando ambas as funções tendem a , dividir
por
não é diretamente aplicável, mas neste caso, como os termos de maior grau são iguais, podemos simplificar o limite dividindo cada termo por
.
Aqui, o aluno usa uma propriedade de limites que permite dividir os limites das funções no numerador e denominador. Quando ambas as funções tendem a
Conclusão:
A justificativa está correta.
A justificativa está correta.
Passo 3
Opção (B):
Justificativa:
Como , então
, pois operações envolvendo infinito resultam em infinito.
Justificativa:
Como
Análise:
O aluno afirma que . No entanto, essa forma indeterminada não permite concluir diretamente que o limite é infinito. Precisamos analisar os coeficientes ou dividir os termos pelo maior grau da variável para verificar o comportamento real.
O aluno afirma que
Conclusão:
A justificativa está errada.
A justificativa está errada.
Passo 4
Opção ©:
Justificativa:
Como , então não existe o limite
.
Justificativa:
Como
Análise:
Dizer que o limite não existe porque ambas as funções tendem a infinito não está correto. Precisamos comparar o crescimento das funções. Nesse caso, os termos de maior grau são iguais, então o limite tende ao coeficiente desses termos.
Dizer que o limite não existe porque ambas as funções tendem a infinito não está correto. Precisamos comparar o crescimento das funções. Nesse caso, os termos de maior grau são iguais, então o limite tende ao coeficiente desses termos.
Conclusão:
A justificativa está errada.
A justificativa está errada.
Passo 5
Opção (D):
Justificativa:
Reescrevendo a função, segue que .
Justificativa:
Reescrevendo a função, segue que
Análise:
Este método é correto! Ao fatorar no numerador e denominador, simplificamos a expressão e analisamos o comportamento quando
tende ao infinito. Os termos
tendem a zero, deixando o limite como
.
Este método é correto! Ao fatorar
Conclusão:
A justificativa está correta.
A justificativa está correta.
Passo 6
Opção (E):
Justificativa:
Como , e as funções envolvidas são deriváveis, podemos usar a Regra de L…
Justificativa:
Como
Análise:
A justificativa está incompleta, mas mesmo assim, a intenção é aplicar a Regra de L’Hôpital, que permite avaliar limites de formas indeterminadas como usando derivadas. Aplicando a Regra de L’Hôpital:
A justificativa está incompleta, mas mesmo assim, a intenção é aplicar a Regra de L’Hôpital, que permite avaliar limites de formas indeterminadas como
Embora a conclusão não esteja completa na justificativa, a aplicação correta da Regra de L’Hôpital resultaria em
.
Conclusão:
Apesar da justificativa estar incompleta, a aplicação correta da Regra de L’Hôpital levaria ao resultado correto. Portanto, consideramos parcialmente correta, mas como está incompleta, podemos considerar errada.
Apesar da justificativa estar incompleta, a aplicação correta da Regra de L’Hôpital levaria ao resultado correto. Portanto, consideramos parcialmente correta, mas como está incompleta, podemos considerar errada.
Resposta
(A) Correta
(B) Errada
© Errada
(D) Correta
(E) Errada
(B) Errada
© Errada
(D) Correta
(E) Errada
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.
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.
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.
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.
Linearize