Considerando o cálculo do limite , determine se as seguintes justificativas são corretas ou erradas.
(A) Como , então , pois .
(B) Como , então , pois operações envolvendo infinito resultam em infinito.
© Como , então não existe o limite .
(D) Reescrevendo a função, segue que .
(E) Como , e as funções envolvidas são deriváveis, podemos usar a Regra de L

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite e verificar se as justificativas de (A) a (E) estão corretas ou erradas. Vamos usar conceitos de cálculo de limites, principalmente envolvendo funções polinomiais e propriedades dos limites.

Passo 2

Opção (A):
Justificativa:
Como , então , pois .
Análise:
Aqui, o aluno usa uma propriedade de limites que permite dividir os limites das funções no numerador e denominador. Quando ambas as funções tendem a , dividir por não é diretamente aplicável, mas neste caso, como os termos de maior grau são iguais, podemos simplificar o limite dividindo cada termo por .
Conclusão:
A justificativa está correta.

Passo 3

Opção (B):
Justificativa:
Como , então , pois operações envolvendo infinito resultam em infinito.
Análise:
O aluno afirma que . No entanto, essa forma indeterminada não permite concluir diretamente que o limite é infinito. Precisamos analisar os coeficientes ou dividir os termos pelo maior grau da variável para verificar o comportamento real.
Conclusão:
A justificativa está errada.

Passo 4

Opção ©:
Justificativa:
Como , então não existe o limite .
Análise:
Dizer que o limite não existe porque ambas as funções tendem a infinito não está correto. Precisamos comparar o crescimento das funções. Nesse caso, os termos de maior grau são iguais, então o limite tende ao coeficiente desses termos.
Conclusão:
A justificativa está errada.

Passo 5

Opção (D):
Justificativa:
Reescrevendo a função, segue que .
Análise:
Este método é correto! Ao fatorar no numerador e denominador, simplificamos a expressão e analisamos o comportamento quando tende ao infinito. Os termos tendem a zero, deixando o limite como .
Conclusão:
A justificativa está correta.

Passo 6

Opção (E):
Justificativa:
Como , e as funções envolvidas são deriváveis, podemos usar a Regra de L…
Análise:
A justificativa está incompleta, mas mesmo assim, a intenção é aplicar a Regra de L’Hôpital, que permite avaliar limites de formas indeterminadas como usando derivadas. Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Embora a conclusão não esteja completa na justificativa, a aplicação correta da Regra de L’Hôpital resultaria em .
Conclusão:
Apesar da justificativa estar incompleta, a aplicação correta da Regra de L’Hôpital levaria ao resultado correto. Portanto, consideramos parcialmente correta, mas como está incompleta, podemos considerar errada.

Resposta

(A) Correta
(B) Errada
© Errada
(D) Correta
(E) Errada

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