Calcule a derivada: f(x) = 4 sec(x) + (3 x^2 + 2) cot(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a derivada da função . Isso envolve conhecimentos de derivadas e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar das regras de derivação básicas, como a regra da soma, a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas de cada função individualmente. Então, podemos separar a derivada de em duas partes:

Passo 3

Vamos calcular a derivada da primeira parte: . Sabemos que a derivada de é . Assim:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: . Aqui precisamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Vamos identificar:
Primeiro, encontramos as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes que derivamos:

Resposta

A derivada de é:

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