Determine a derivada de y = raiz(1 - tan^2(x))

Passo 1

Então, a gente tem a função e o objetivo é encontrar a derivada dela, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar regras de derivação que envolvem funções compostas e também a derivada da tangente. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Podemos expressar a raiz quadrada como uma potência:
Isso nos ajuda a aplicar a regra da cadeia de forma mais clara.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta. A regra da cadeia diz que se e , então:
No nosso caso, e .

Passo 4

Primeiro, vamos derivar em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos derivar em relação a :
Aqui usamos a derivada da tangente, que é .

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia, multiplicamos por :

Passo 7

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada de é:

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