Calcule: a derivada de ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar conhecer essas regras para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função que queremos derivar. Temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Para simplificar, vamos chamar a parte interna de . Assim, nossa função original fica .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta. A regra da cadeia nos diz que a derivada de é . No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora precisamos encontrar , a derivada de . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Agora que temos , vamos substituir de volta na expressão da derivada usando a regra da cadeia:

Resposta

A derivada de é:

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