Determine uma função f tal que nabla f=F e use esta função para calcular integralC F cdot d r sobre a curva C dada: F(x, y, z)=[2 x z+sen(y)] i+x cos (y) j+x^2 k, C: r(t)=cos (t) i+sen(t) j+t k, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma função cuja derivada gradiente seja igual ao campo vetorial . Depois, vamos usar essa função para calcular a integral de linha de ao longo da curva . Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integrais de linha.

Passo 2

Vamos começar encontrando a função nabla f = ( partial fpartial x ) i + ( partial fpartial y ) j + ( partial fpartial z ) k tal que F(x, y, z) = [2xz + sin(y)] i + x cos(y) j + x^2 k . O gradiente de partial fpartial x = 2xz + sin(y) , partial fpartial y = x cos(y) , é dado por:
partial fpartial z = x^2
Comparando com o campo vetorial :
Temos:

Passo 3

Vamos integrar f(x, y, z) = integral (2xz + sin(y)) , dx = x^2 z + x sin(y) + g(y, z) em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que pode depender de e .

Passo 4

Agora, vamos usar partial fpartial y = x cos(y) + partial gpartial y = x cos(y) para encontrar partial gpartial y = 0 :
Isso implica que:
Portanto, não depende de , ou seja, .

Passo 5

Vamos utilizar partial fpartial z = x^2 + dgdz = x^2 para determinar dgdz = 0 :
Isso nos dá:
Integrando, obtemos que é constante. Podemos ignorar a constante, pois ela não afeta o gradiente.

Passo 6

Então, a função potencial f(x, y, z) = x^2 z + x sin(y) é:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de linha integralC F cdot dr = f(r(b)) - f(r(a)) usando a função encontrada. Sabemos que:
Onde e são os pontos inicial e final da curva .

Passo 8

A curva r(t) = cos(t) i + sin(t) j + t k, 0 <= t <= 2pi é dada por:
r(0) = (1, 0, 0)
Então:
r(2pi) = (1, 0, 2pi)

Passo 9

Calculando f(r(2pi)) = f(1, 0, 2pi) = (1)^2 (2pi) + 1 cdot sin(0) = 2pi nos pontos finais:
f(r(0)) = f(1, 0, 0) = (1)^2 (0) + 1 cdot sin(0) = 0

Resposta

Portanto, a integral de linha é:
integralC F cdot dr = 2pi - 0 = 2pi

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