Determine uma função tal que e use esta função para calcular sobre a curva dada: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma função cuja derivada gradiente seja igual ao campo vetorial . Depois, vamos usar essa função para calcular a integral de linha de ao longo da curva . Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integrais de linha.

Passo 2

Vamos começar encontrando a função tal que . O gradiente de , , é dado por:
Comparando com o campo vetorial :
Temos:

Passo 3

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que pode depender de e .

Passo 4

Agora, vamos usar para encontrar :
Isso implica que:
Portanto, não depende de , ou seja, .

Passo 5

Vamos utilizar para determinar :
Isso nos dá:
Integrando, obtemos que é constante. Podemos ignorar a constante, pois ela não afeta o gradiente.

Passo 6

Então, a função potencial é:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de linha usando a função encontrada. Sabemos que:
Onde e são os pontos inicial e final da curva .

Passo 8

A curva é dada por:
Então:

Passo 9

Calculando nos pontos finais:

Resposta

Portanto, a integral de linha é:

Exercícios relacionados

Determine uma função tal que e use esta função para calcular sobre a curva dada: , é o segmento de reta de até .
Determine o trabalho realizado pelo campo de força para movimentar um objeto sobre a curva .
Calcule: a derivada de ;
Calcule: a derivada de ;