Determine uma função
tal que
e use esta função para calcular
sobre a curva
dada:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma função
cuja derivada gradiente seja igual ao campo vetorial
. Depois, vamos usar essa função para calcular a integral de linha de
ao longo da curva
. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integrais de linha.
Passo 2
Vamos começar encontrando a função
tal que
. O gradiente de
,
, é dado por:
Comparando com o campo vetorial
:
Temos:
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar
para encontrar
:
Isso implica que:
Portanto,
não depende de
, ou seja,
.
Passo 5
Vamos utilizar
para determinar
:
Isso nos dá:
Integrando, obtemos que
é constante. Podemos ignorar a constante, pois ela não afeta o gradiente.
Passo 6
Então, a função potencial
é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral de linha
usando a função
encontrada. Sabemos que:
Onde
e
são os pontos inicial e final da curva
.
Passo 8
A curva
é dada por:
Então:
Passo 9
Calculando
nos pontos finais:
Resposta
Portanto, a integral de linha é:
Exercícios relacionados
Determine uma função
tal que
e use esta função para calcular
sobre a curva
dada:
,
é o segmento de reta de
até
.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para movimentar um objeto sobre a curva
.
Calcule: a derivada de
;
Calcule: a derivada de
;