Construa a equação da reta tangente ao gráfico de
que passa em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para construir a equação da reta tangente ao gráfico de
que passa pelo ponto onde
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas e equações de retas tangentes. Vamos precisar encontrar a derivada de
, identificar o ponto de tangência e usar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a reta tangente passar por
. Quando
, podemos encontrar o valor de
:
Então, a reta tangente deve passar pelo ponto
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
para determinar o coeficiente angular da reta tangente. Vamos derivar
:
Primeiro, aplicamos a regra da cadeia. Se
, então:
Agora, derivamos
:
Então, a derivada de
fica:
Passo 4
Queremos encontrar o ponto
onde a reta tangente toca o gráfico de
e passa por
. A equação da reta tangente em
é:
Como a reta passa por
, substituímos
e
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação
:
Essa equação é um pouco complexa para resolver algebricamente, então vamos tentar encontrar o valor de
que satisfaz essa igualdade. Observando a função, percebemos que
é uma solução trivial:
No entanto, a reta tangente em
é a própria reta
, que já passa por
. Para encontrar outra reta tangente que também passa por
, precisamos verificar se há outros valores de
que satisfazem a equação.
Após análise, percebemos que além de
, não há outros valores reais de
que satisfazem a condição
.
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
que passa pelo ponto
é
.
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Calcule: a derivada de
;
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;
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, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Encontre o(s) ponto(s) de inflexão de
e estude sua concavidade;
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