Construa a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = ln(x + raiz(x^2 + 1)) que passa em x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para construir a equação da reta tangente ao gráfico de que passa pelo ponto onde . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas e equações de retas tangentes. Vamos precisar encontrar a derivada de , identificar o ponto de tangência e usar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a reta tangente passar por . Quando , podemos encontrar o valor de :
Então, a reta tangente deve passar pelo ponto .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de para determinar o coeficiente angular da reta tangente. Vamos derivar :
Primeiro, aplicamos a regra da cadeia. Se , então:
Agora, derivamos :
Então, a derivada de fica:

Passo 4

Queremos encontrar o ponto onde a reta tangente toca o gráfico de e passa por . A equação da reta tangente em é:
Como a reta passa por , substituímos e :

Passo 5

Agora, substituímos e na equação :
Essa equação é um pouco complexa para resolver algebricamente, então vamos tentar encontrar o valor de que satisfaz essa igualdade. Observando a função, percebemos que é uma solução trivial:
No entanto, a reta tangente em é a própria reta , que já passa por . Para encontrar outra reta tangente que também passa por , precisamos verificar se há outros valores de que satisfazem a equação.
Após análise, percebemos que além de , não há outros valores reais de que satisfazem a condição .

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de que passa pelo ponto é .

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