Determine uma função tal que e use esta função para calcular sobre a curva dada: , é o segmento de reta de até .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma função tal que o gradiente dessa função seja igual ao campo vetorial que a gente tem. Depois disso, vamos usar essa função para calcular uma integral de linha ao longo de uma reta que vai do ponto até . Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a , e . Então, temos:
Isso dá a gente três equações:

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função que ainda depende de e .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar . Derivando em relação a , temos:
Isso significa que:
Integrando isso em relação a :
Onde é uma função que só depende de .

Passo 5

Finalmente, vamos usar a terceira equação para encontrar . Derivando em relação a :
Isso implica que:
Podemos ignorar a constante, então nossa função fica:

Passo 6

Agora que temos a função , vamos calcular a integral de linha. Como o campo é conservativo, a integral é simplesmente a diferença dos valores de nos pontos final e inicial. A fórmula é:
Os pontos são e .

Passo 7

Calculando nos pontos:
Para :
Para :

Resposta

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Determine o trabalho realizado pelo campo de força para movimentar um objeto sobre a curva .
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada: .
Determine uma função tal que e use esta função para calcular sobre a curva dada: .
Calcule: a derivada de ;