Determine uma função
tal que
e use esta função para calcular
sobre a curva
dada:
,
é o segmento de reta de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma função
tal que o gradiente dessa função seja igual ao campo vetorial
que a gente tem. Depois disso, vamos usar essa função para calcular uma integral de linha ao longo de uma reta que vai do ponto
até
. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter
. O gradiente
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Então, temos:
Isso dá a gente três equações:
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que ainda depende de
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar
. Derivando
em relação a
, temos:
Isso significa que:
Integrando isso em relação a
:
Onde
é uma função que só depende de
.
Passo 5
Finalmente, vamos usar a terceira equação para encontrar
. Derivando
em relação a
:
Isso implica que:
Podemos ignorar a constante, então nossa função
fica:
Passo 6
Agora que temos a função
, vamos calcular a integral de linha. Como o campo é conservativo, a integral é simplesmente a diferença dos valores de
nos pontos final e inicial. A fórmula é:
Os pontos são
e
.
Passo 7
Calculando
nos pontos:
Para
:
Para
:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para movimentar um objeto sobre a curva
.
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
.
Determine uma função
tal que
e use esta função para calcular
sobre a curva
dada:
.
Calcule: a derivada de
;