Determine uma função f tal que nabla f=F e use esta função para calcular integralC F cdot d r sobre a curva C dada: F(x, y, z)=y i+(x+z) j+y k, C é o segmento de reta de (2,1,4) até (8,3,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma função tal que o gradiente dessa função seja igual ao campo vetorial que a gente tem. Depois disso, vamos usar essa função para calcular uma integral de linha ao longo de uma reta que vai do ponto até . Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = F = (y, x + z, y) . O gradiente partial fpartial x = y é um vetor que contém as derivadas parciais de partial fpartial y = x + z em relação a partial fpartial z = y , e . Então, temos:
Isso dá a gente três equações:

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a f(x, y, z) = integral y , dx = x y + g(y, z) :
Aqui, é uma função que ainda depende de e .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar partial fpartial y = x + partial gpartial y = x + z . Derivando partial gpartial y = z em relação a g(y, z) = y z + h(z) , temos:
Isso significa que:
Integrando isso em relação a :
Onde é uma função que só depende de .

Passo 5

Finalmente, vamos usar a terceira equação para encontrar partial fpartial z = y + d hd z = y . Derivando d hd z = 0 Rightarrow h(z) = constante em relação a f(x, y, z) = x y + y z :
Isso implica que:
Podemos ignorar a constante, então nossa função fica:

Passo 6

Agora que temos a função integralC F cdot d r = f(final) - f(inicial) , vamos calcular a integral de linha. Como o campo é conservativo, a integral é simplesmente a diferença dos valores de nos pontos final e inicial. A fórmula é:
Os pontos são e .

Passo 7

Calculando f(8,3,-1) = 8 cdot 3 + 3 cdot (-1) = 24 - 3 = 21 nos pontos:
Para f(2,1,4) = 2 cdot 1 + 1 cdot 4 = 2 + 4 = 6 :
Para :

Resposta

integralC F cdot d r = 21 - 6 = 15

Exercícios relacionados