Calcule a derivada de f(x)=sumj=1^101 x^j cos (j x).

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente a derivação de somas e produtos de funções. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a regra da derivada para somas, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja,
f'(x) = ddx ( sumj=1^101 x^j cos(jx) ) = sumj=1^101 ddx ( x^j cos(jx) )

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo ddx ( x^j cos(jx) ) = ddx ( x^j ) cdot cos(jx) + x^j cdot ddx ( cos(jx) ) . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda. Ou seja,

Passo 4

Vamos calcular cada derivada individualmente. A derivada de ddx ( x^j ) = j x^j-1 em relação a é:

Passo 5

Agora, calculamos a derivada de ddx ( cos(jx) ) = -sin(jx) cdot j = -j sin(jx) . Usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de é vezes a derivada de . Aqui, , então:

Passo 6

Substituindo as derivadas encontradas de volta na regra do produto, temos:
ddx ( x^j cos(jx) ) = j x^j-1 cos(jx) + x^j cdot (-j sin(jx)) = j x^j-1 cos(jx) - j x^j sin(jx)

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na soma original para obter a derivada completa de f'(x) = sumj=1^101 ( j x^j-1 cos(jx) - j x^j sin(jx) ) :

Resposta

A derivada de f'(x) = sumj=1^101 ( j x^j-1 cos(jx) - j x^j sin(jx) ) é

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