Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto . Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e como usar a fórmula da reta tangente.
Passo 2
A reta tangente a uma função em um ponto específico tem a mesma inclinação da derivada da função naquele ponto. Então, nosso primeiro passo é calcular a derivada de
.
Passo 3
Vamos derivar . Para isso, utilizaremos a regra do quociente: se
, então
.
Passo 4
Identificando e
, vamos calcular
e
:
-
(usando a regra da cadeia) -
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto
para encontrar a inclinação da reta tangente:
Passo 7
Sabemos que o ponto de tangência é e que a inclinação da reta é . Usando a fórmula da reta tangente
, substituímos os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é: