Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = -sen(3x) / x^8 no ponto P = (1, -sen(3)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto . Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e como usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

A reta tangente a uma função em um ponto específico tem a mesma inclinação da derivada da função naquele ponto. Então, nosso primeiro passo é calcular a derivada de .

Passo 3

Vamos derivar . Para isso, utilizaremos a regra do quociente: se , então .

Passo 4

Identificando e , vamos calcular e :
  • (usando a regra da cadeia)

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente:

Passo 7

Sabemos que o ponto de tangência é e que a inclinação da reta é . Usando a fórmula da reta tangente , substituímos os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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