Calcule a derivada de identificando o domínio em que o resultado é válido. Escolha um ponto deste domínio e calcule o valor da derivada. Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Esse problema está ligado ao conteúdo de cálculo de derivadas, especificamente utilizando a regra do quociente. Para resolver, vamos precisar aplicar essa regra e compreender como derivar funções envolvendo exponenciais e variáveis complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão compor a regra do quociente. A função pode ser escrita como:
onde:
  • é o numerador,
  • é o denominador.

Passo 3

A regra do quociente nos diz que a derivada de é dada por:
Então, precisamos calcular e .

Passo 4

Vamos calcular :
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de (uma constante) é .
Portanto:

Passo 6

Substituindo , , e na fórmula da regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Lembrando que , temos:
Subtraindo :
Portanto, a derivada fica:

Passo 8

Agora, vamos identificar o domínio de validade da derivada. A derivada estará definida para todos os valores de onde o denominador não é zero. Ou seja:
Portanto, o domínio válido para é .

Passo 9

Vamos escolher um ponto nesse domínio para calcular o valor da derivada. Vou escolher .
Substituindo na expressão da derivada:
Sabendo que :

Resposta

A derivada de é:
Esse resultado é válido para todo no domínio exceto .
Escolhendo o ponto , o valor da derivada é:

Exercícios relacionados

, onde
(f) e é a semicircunferência .
Seja a função real . , sendo uma constante ajustável. Identifique se a função é harmônica em algum domínio. Em caso positivo, identifique uma função real de modo que a função complexa definida por seja analítica no mesmo domínio que é harmônica, e que . Considere que .
Seja a função , sendo . Aválie as características de analiticidade da função. Caso seja possível derivar a função, escolha um ponto adequado do plano z e calcule o valor da derivada no ponto escolhido. Justifique sua resposta.
Seja a função . Identifique todos os pontos do plano que o valor da derivada da função seja igual . Justifique sua resposta.