Calcule a derivada de f(z) = (3z - e^(-i z)) / (z + i) identificando o domínio em que o resultado é válido. Escolha um ponto deste domínio e calcule o valor da derivada. Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Esse problema está ligado ao conteúdo de cálculo de derivadas, especificamente utilizando a regra do quociente. Para resolver, vamos precisar aplicar essa regra e compreender como derivar funções envolvendo exponenciais e variáveis complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão compor a regra do quociente. A função pode ser escrita como:
onde:
  • é o numerador,
  • é o denominador.

Passo 3

A regra do quociente nos diz que a derivada de é dada por:
Então, precisamos calcular e .

Passo 4

Vamos calcular :
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de (uma constante) é .
Portanto:

Passo 6

Substituindo , , e na fórmula da regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Lembrando que , temos:
Subtraindo :
Portanto, a derivada fica:

Passo 8

Agora, vamos identificar o domínio de validade da derivada. A derivada estará definida para todos os valores de onde o denominador não é zero. Ou seja:
Portanto, o domínio válido para é .

Passo 9

Vamos escolher um ponto nesse domínio para calcular o valor da derivada. Vou escolher .
Substituindo na expressão da derivada:
Sabendo que :

Resposta

A derivada de é:
Esse resultado é válido para todo no domínio exceto .
Escolhendo o ponto , o valor da derivada é:

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