Calcule a derivada de
identificando o domínio em que o resultado é válido. Escolha um ponto deste domínio e calcule o valor da derivada. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
. Esse problema está ligado ao conteúdo de cálculo de derivadas, especificamente utilizando a regra do quociente. Para resolver, vamos precisar aplicar essa regra e compreender como derivar funções envolvendo exponenciais e variáveis complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão compor a regra do quociente. A função
pode ser escrita como:
onde:
-
é o numerador, -
é o denominador.
Passo 3
A regra do quociente nos diz que a derivada de
é dada por:
Então, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia).
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
(uma constante) é .
Portanto:
Passo 6
Substituindo
,
,
e
na fórmula da regra do quociente:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador:
Lembrando que
, temos:
Subtraindo
:
Portanto, a derivada fica:
Passo 8
Agora, vamos identificar o domínio de validade da derivada. A derivada
estará definida para todos os valores de
onde o denominador
não é zero. Ou seja:
Portanto, o domínio válido para
é
.
Passo 9
Vamos escolher um ponto nesse domínio para calcular o valor da derivada. Vou escolher
.
Substituindo
na expressão da derivada:
Sabendo que
:
Resposta
A derivada de
é:
Esse resultado é válido para todo
no domínio
exceto
.
Escolhendo o ponto
, o valor da derivada é:
Exercícios relacionados
(f)
Seja a função real
.
, sendo
uma constante ajustável. Identifique se a função é harmônica em algum domínio. Em caso positivo, identifique uma função real
de modo que a função complexa definida por
seja analítica no mesmo domínio que
é harmônica, e que
. Considere que
.
Seja a função
, sendo
. Aválie as características de analiticidade da função. Caso seja possível derivar a função, escolha um ponto adequado do plano z e calcule o valor da derivada no ponto escolhido. Justifique sua resposta.
Seja a função
. Identifique todos os pontos do plano
que o valor da derivada da função seja igual
. Justifique sua resposta.