Seja a função
, sendo
. Aválie as características de analiticidade da função. Caso seja possível derivar a função, escolha um ponto adequado do plano z e calcule o valor da derivada no ponto escolhido. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar se a função
, onde
, é analítica. Se der pra derivar, precisamos escolher um ponto no plano complexo e calcular a derivada nesse ponto. Para isso, vamos usar os conceitos de derivabilidade de funções de variável complexa e as equações de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
é analítica se ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann e se suas derivadas parciais são contínuas. As equações de Cauchy-Riemann são:
Então, vamos identificar
e
na nossa função.
Passo 3
Na nossa função
, podemos escrever:
Sabendo que
, mas como estamos lidando com
e
reais, vamos separar
em partes reais e imaginárias se necessário.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de
e
:
Agora, vamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas.
Passo 5
Aplicando as equações de Cauchy-Riemann:
Da primeira equação:
Isso significa que as equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas se
.
Passo 6
Além de satisfazer as equações de Cauchy-Riemann, as derivadas parciais devem ser contínuas, o que é o caso aqui porque estamos lidando com funções polinomiais em
e
. Portanto, a função
é analítica apenas na linha
no plano complexo.
Passo 7
Agora, se quisermos derivar
nesse ponto, podemos usar a definição da derivada complexa:
No ponto onde
, temos:
Então:
Escolhendo um ponto, por exemplo,
, então
.
Resposta
A função
é analítica apenas na linha
no plano complexo. Nesse ponto, a derivada de
é
. Por exemplo, no ponto
, a derivada é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de
identificando o domínio em que o resultado é válido. Escolha um ponto deste domínio e calcule o valor da derivada. Justifique sua resposta.
(f)
Seja a função
. Identifique todos os pontos do plano
que o valor da derivada da função seja igual
. Justifique sua resposta.
Determine o volume do sólido que está fora do cilindro
, dentro do cilindro
, abaixo do plano
e contido no primeiro octante.