Seja a função , sendo . Aválie as características de analiticidade da função. Caso seja possível derivar a função, escolha um ponto adequado do plano z e calcule o valor da derivada no ponto escolhido. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar se a função , onde , é analítica. Se der pra derivar, precisamos escolher um ponto no plano complexo e calcular a derivada nesse ponto. Para isso, vamos usar os conceitos de derivabilidade de funções de variável complexa e as equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é analítica se ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann e se suas derivadas parciais são contínuas. As equações de Cauchy-Riemann são:
Então, vamos identificar e na nossa função.

Passo 3

Na nossa função , podemos escrever:
Sabendo que , mas como estamos lidando com e reais, vamos separar em partes reais e imaginárias se necessário.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de e :
áã
áã
Agora, vamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas.

Passo 5

Aplicando as equações de Cauchy-Riemann:
Da primeira equação:
Isso significa que as equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas se .

Passo 6

Além de satisfazer as equações de Cauchy-Riemann, as derivadas parciais devem ser contínuas, o que é o caso aqui porque estamos lidando com funções polinomiais em e . Portanto, a função é analítica apenas na linha no plano complexo.

Passo 7

Agora, se quisermos derivar nesse ponto, podemos usar a definição da derivada complexa:
No ponto onde , temos:
Então:
Escolhendo um ponto, por exemplo, , então .

Resposta

A função é analítica apenas na linha no plano complexo. Nesse ponto, a derivada de é . Por exemplo, no ponto , a derivada é .

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(f) e é a semicircunferência .
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