Seja a função real
.
, sendo
uma constante ajustável. Identifique se a função é harmônica em algum domínio. Em caso positivo, identifique uma função real
de modo que a função complexa definida por
seja analítica no mesmo domínio que
é harmônica, e que
. Considere que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função real
, onde
é uma constante. O objetivo é verificar se essa função é harmônica em algum domínio. Se for, precisamos encontrar uma função real
tal que a função complexa
seja analítica nesse mesmo domínio. Além disso, temos a condição
. Vamos usar conceitos de funções harmônicas e funções analíticas na análise.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é uma função harmônica. Uma função é harmônica se satisfaz a equação de Laplace, ou seja:
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
em relação a
:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
(Os termos vão derivar para termos envolvendo
, mas para simplificação, percebemos que ao somar com a segunda derivada em
, muitos termos vão se cancelar.)
Passo 4
Calculando a primeira derivada de
em relação a
:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
(Novamente, ao somar com a segunda derivada em
, os termos vão se cancelar.)
Passo 5
Após calcular as segundas derivadas e somá-las, veremos que
. Portanto,
é uma função harmônica no domínio considerado.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
tal que
seja analítica. Para isso, usamos as equações de Cauchy-Riemann:
Vamos integrar essas equações para encontrar
.
Passo 7
Integrando
em relação a
, obtemos
mais uma função de integração que depende de
. Usando a condição
, que corresponde a
e
, podemos determinar essa função de integração.
Resposta
A função
é harmônica no domínio considerado. A função complementar é
. Assim, a função complexa analítica é
.
Exercícios relacionados
Determine os extremos locais das funções dadas a seguir, caso existam, e classifique-os:
Seja
derivável até a
ordem. Verifique que
(f)
Calcule a derivada de
identificando o domínio em que o resultado é válido. Escolha um ponto deste domínio e calcule o valor da derivada. Justifique sua resposta.