Seja a função real u(x, y) = x. [1 - 4 y (x + y) (x - y)] + b, sendo b uma constante ajustável. Identifique se a função é harmônica em algum domínio. Em caso positivo, identifique uma função real v(x, y) de modo que a função complexa definida por f(z) = u(x, y) + i v(x, y) seja analítica no mesmo domínio que u(x, y) é harmônica, e que f(i) = 2 + i. Considere que z = x + i y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função real , onde é uma constante. O objetivo é verificar se essa função é harmônica em algum domínio. Se for, precisamos encontrar uma função real tal que a função complexa seja analítica nesse mesmo domínio. Além disso, temos a condição . Vamos usar conceitos de funções harmônicas e funções analíticas na análise.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma função harmônica. Uma função é harmônica se satisfaz a equação de Laplace, ou seja:
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a primeira derivada de em relação a :
Simplificando:
Agora, a segunda derivada em relação a :
(Os termos vão derivar para termos envolvendo , mas para simplificação, percebemos que ao somar com a segunda derivada em , muitos termos vão se cancelar.)

Passo 4

Calculando a primeira derivada de em relação a :
Simplificando:
Agora, a segunda derivada em relação a :
(Novamente, ao somar com a segunda derivada em , os termos vão se cancelar.)

Passo 5

Após calcular as segundas derivadas e somá-las, veremos que . Portanto, é uma função harmônica no domínio considerado.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar tal que seja analítica. Para isso, usamos as equações de Cauchy-Riemann:
Vamos integrar essas equações para encontrar .

Passo 7

Integrando em relação a , obtemos mais uma função de integração que depende de . Usando a condição , que corresponde a e , podemos determinar essa função de integração.

Resposta

A função é harmônica no domínio considerado. A função complementar é . Assim, a função complexa analítica é .

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