Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde e é a semicircunferência definida por com . Aqui, estamos trabalhando com integrais de linha que envolvem funções escalares ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Esse termo representa um elemento de comprimento ao longo da curva . Para calcular a integral, precisamos parametrizar a curva, ou seja, expressar e em termos de uma variável, geralmente chamada de .
Passo 3
Como é uma semicircunferência com raio 3 (porque ), podemos usar coordenadas polares para parametrizar a curva. Vamos definir:
onde varia de a para cobrir a semicircunferência superior.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar em termos de . O diferencial de comprimento em coordenadas paramétricas é dado por:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos , e na função :
Então, a integral se torna:
Passo 6
Vamos calcular essa integral agora. Integre termo a termo: