integralC f d s, onde
(f) f(x, y)=x+2 y e C é a semicircunferência x^2+y^2=9, y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralC f , ds, onde f(x, y) = x + 2y e C é a semicircunferência definida por x^2 + y^2 = 9 com y >= 0. Aqui, estamos trabalhando com integrais de linha que envolvem funções escalares ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ds. Esse termo representa um elemento de comprimento ao longo da curva C. Para calcular a integral, precisamos parametrizar a curva, ou seja, expressar x e y em termos de uma variável, geralmente chamada de theta.

Passo 3

Como C é uma semicircunferência com raio 3 (porque x^2 + y^2 = 9), podemos usar coordenadas polares para parametrizar a curva. Vamos definir:
x = 3 costheta
y = 3 sintheta
onde theta varia de 0 a pi para cobrir a semicircunferência superior.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar ds em termos de theta. O diferencial de comprimento em coordenadas paramétricas é dado por:
ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta
Calculando as derivadas:
dxdtheta = -3 sintheta
dydtheta = 3 costheta
Então:
ds = raiz(-3 sintheta)^2 + (3 costheta)^2 , dtheta = raiz9 sin^2theta + 9 cos^2theta , dtheta = raiz9(sin^2theta + cos^2theta) , dtheta = 3 , dtheta

Passo 5

Agora, substituímos x, y e ds na função f(x, y):
f(x, y) = x + 2y = 3 costheta + 2 cdot 3 sintheta = 3 costheta + 6 sintheta
Então, a integral se torna:
integralC f , ds = integral0^pi (3 costheta + 6 sintheta) cdot 3 , dtheta = integral0^pi (9 costheta + 18 sintheta) , dtheta

Passo 6

Vamos calcular essa integral agora. Integre termo a termo:
integral0^pi 9 costheta , dtheta + integral0^pi 18 sintheta , dtheta
Calculando cada parte:
integral0^pi 9 costheta , dtheta = 9 sintheta |0^pi = 9 (sinpi - sin0) = 9 (0 - 0) = 0
integral0^pi 18 sintheta , dtheta = -18 costheta |0^pi = -18 (cospi - cos0) = -18 (-1 - 1) = -18 (-2) = 36

Resposta

A integral vale 36.

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