, onde
(f) e é a semicircunferência .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde e é a semicircunferência definida por com . Aqui, estamos trabalhando com integrais de linha que envolvem funções escalares ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse termo representa um elemento de comprimento ao longo da curva . Para calcular a integral, precisamos parametrizar a curva, ou seja, expressar e em termos de uma variável, geralmente chamada de .

Passo 3

Como é uma semicircunferência com raio 3 (porque ), podemos usar coordenadas polares para parametrizar a curva. Vamos definir:
onde varia de a para cobrir a semicircunferência superior.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar em termos de . O diferencial de comprimento em coordenadas paramétricas é dado por:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 5

Agora, substituímos , e na função :
Então, a integral se torna:

Passo 6

Vamos calcular essa integral agora. Integre termo a termo:
Calculando cada parte:

Resposta

A integral vale .

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Seja a função real . , sendo uma constante ajustável. Identifique se a função é harmônica em algum domínio. Em caso positivo, identifique uma função real de modo que a função complexa definida por seja analítica no mesmo domínio que é harmônica, e que . Considere que .
Determine os extremos locais das funções dadas a seguir, caso existam, e classifique-os:
Calcule a derivada de identificando o domínio em que o resultado é válido. Escolha um ponto deste domínio e calcule o valor da derivada. Justifique sua resposta.
Seja a função , sendo . Aválie as características de analiticidade da função. Caso seja possível derivar a função, escolha um ponto adequado do plano z e calcule o valor da derivada no ponto escolhido. Justifique sua resposta.