Seja a função
. Identifique todos os pontos do plano
que o valor da derivada da função seja igual
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente encontrar todos os pontos no plano complexo
onde a derivada da função
é igual a
. Estamos lidando com cálculo de funções complexas, especificamente derivadas de funções exponenciais no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções complexas e resolver equações envolvendo números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, onde
é uma função de
.
Então, neste caso:
Passo 3
Agora, queremos encontrar os valores de
para os quais
. Vamos igualar nossa expressão para
a
:
Passo 4
Vamos isolar
dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Para resolver para
, precisamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados. No contexto complexo, o logaritmo de um número complexo é múltiplo devido à periodicidade da função exponencial. Então temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Passo 7
Vamos simplificar o logaritmo complexo. Primeiro, expressamos
na forma polar. Sabemos que
tem módulo
e argumento
. Então:
Passo 8
Substituindo de volta em
:
Resposta
Todos os pontos
no plano complexo que satisfazem
são dados por: