Seja a função . Identifique todos os pontos do plano que o valor da derivada da função seja igual . Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente encontrar todos os pontos no plano complexo onde a derivada da função é igual a . Estamos lidando com cálculo de funções complexas, especificamente derivadas de funções exponenciais no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções complexas e resolver equações envolvendo números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . Sabemos que a derivada de em relação a é , onde é uma função de .
Então, neste caso:

Passo 3

Agora, queremos encontrar os valores de para os quais . Vamos igualar nossa expressão para a :

Passo 4

Vamos isolar dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Para resolver para , precisamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados. No contexto complexo, o logaritmo de um número complexo é múltiplo devido à periodicidade da função exponencial. Então temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :

Passo 7

Vamos simplificar o logaritmo complexo. Primeiro, expressamos na forma polar. Sabemos que tem módulo e argumento . Então:

Passo 8

Substituindo de volta em :

Resposta

Todos os pontos no plano complexo que satisfazem são dados por:
é

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