Calcule a derivada de f(z) nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de f(z). f(z) = z^2 - z̅

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede para calcular a derivada de nos pontos onde essa derivada existe e depois comentar se essa função é analítica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, especialmente as condições de Cauchy-Riemann que determinam quando uma função é derivável e analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função em termos das partes real e imaginária. Sabemos que , onde e são números reais. Então, . Vamos calcular :

Passo 3

Agora, substituímos e na função :
Simplificando:

Passo 4

Vamos separar as partes real e imaginária de :

Passo 5

Para a função ser derivável em um ponto, ela precisa satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Essas condições são:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 6

Calculando as derivadas:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições de Cauchy-Riemann:
  1. \
A primeira equação simplifica para , o que é impossível. Isso mostra que as condições de Cauchy-Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto.

Passo 8

Como as condições de Cauchy-Riemann não são atendidas em nenhum ponto, concluímos que a função não é derivável em nenhum ponto do plano complexo. Portanto, ela não é analítica em lugar nenhum.

Resposta

A derivada de não existe em nenhum ponto do domínio complexo, e a função não é analítica em nenhum ponto.

Exercícios relacionados