Calcule a derivada de
nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O exercício pede para calcular a derivada de
nos pontos onde essa derivada existe e depois comentar se essa função é analítica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, especialmente as condições de Cauchy-Riemann que determinam quando uma função é derivável e analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a função
em termos das partes real e imaginária. Sabemos que
, onde
e
são números reais. Então,
. Vamos calcular
:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na função
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos separar as partes real e imaginária de
:
Passo 5
Para a função ser derivável em um ponto, ela precisa satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Essas condições são:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 6
Calculando as derivadas:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições de Cauchy-Riemann:
-
\ -
A primeira equação simplifica para
, o que é impossível. Isso mostra que as condições de Cauchy-Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto.
Passo 8
Como as condições de Cauchy-Riemann não são atendidas em nenhum ponto, concluímos que a função
não é derivável em nenhum ponto do plano complexo. Portanto, ela não é analítica em lugar nenhum.
Resposta
A derivada de
não existe em nenhum ponto do domínio complexo, e a função
não é analítica em nenhum ponto.