Calcule a derivada de nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função nos pontos onde ela existe e comentar sobre a analiticidade dessa função. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções de variável complexa e o que significa uma função ser analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em análise complexa, para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa satisfazer as Equações de Cauchy-Riemann nesse ponto. Além disso, uma função é analítica se for derivável em todos os pontos de uma região.
Nossa função é . Note que ela depende de , o que já nos dá uma pista de que pode não ser analítica. Mas vamos verificar isso passo a passo.

Passo 3

Vamos tentar calcular a derivada de em relação a . Para isso, usamos a definição de derivada em análise complexa:
Mas como depende de , a derivada em relação a não será direta. Na verdade, funções que dependem de geralmente não são analíticas, porque não satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann.

Passo 4

Para confirmar, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Escrevendo e , nossa função fica:
Separando em partes real e imaginária:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
As Equações de Cauchy-Riemann exigem que e . Vamos verificar:
Claramente, . Portanto, as Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto, o que significa que não é analítica em nenhum ponto do complexo.

Resposta

A função não possui derivada em nenhum ponto do plano complexo e não é analítica em nenhum lugar.

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