Calcule a derivada de
nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função
nos pontos onde ela existe e comentar sobre a analiticidade dessa função. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções de variável complexa e o que significa uma função ser analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em análise complexa, para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa satisfazer as Equações de Cauchy-Riemann nesse ponto. Além disso, uma função é analítica se for derivável em todos os pontos de uma região.
Nossa função é
. Note que ela depende de
, o que já nos dá uma pista de que pode não ser analítica. Mas vamos verificar isso passo a passo.
Passo 3
Vamos tentar calcular a derivada de
em relação a
. Para isso, usamos a definição de derivada em análise complexa:
Mas como
depende de
, a derivada em relação a
não será direta. Na verdade, funções que dependem de
geralmente não são analíticas, porque não satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann.
Passo 4
Para confirmar, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Escrevendo
e
, nossa função fica:
Separando em partes real e imaginária:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
As Equações de Cauchy-Riemann exigem que
e
. Vamos verificar:
Claramente,
. Portanto, as Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto, o que significa que
não é analítica em nenhum ponto do complexo.
Resposta
A função
não possui derivada em nenhum ponto do plano complexo e não é analítica em nenhum lugar.
Exercícios relacionados
Calculai o produto vetorial
entre os vetores
e vabaixo assim como a área do paralelogramo formado por eles.
a) e
.
a)
Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que
Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que