Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os planos tangentes ao gráfico da função
no ponto
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente ao estudo de planos tangentes a superfícies. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto dado e usar a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
no ponto
. Substituindo
e
na função:
Então, o ponto no gráfico é
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Vamos começar com a derivada parcial em relação a
, denotada por
.
Usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 4
Vamos calcular
no ponto
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Usando novamente a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 6
Vamos calcular
no ponto
:
Passo 7
Com
,
e
, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é dado por:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de
nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de
.
Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que
Calculai o produto vetorial
entre os vetores
e vabaixo assim como a área do paralelogramo formado por eles.
d) e
.
d)