Obtenha os planos tangentes ao gráfico no ponto dado: no ponto em que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os planos tangentes ao gráfico da função no ponto . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente ao estudo de planos tangentes a superfícies. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e no ponto dado e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de no ponto . Substituindo e na função:
Então, o ponto no gráfico é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Vamos começar com a derivada parcial em relação a , denotada por .
Usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 4

Vamos calcular no ponto :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Usando novamente a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 6

Vamos calcular no ponto :

Passo 7

Com , e , podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:

Resposta

O plano tangente ao gráfico de no ponto é dado por:

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d) e .