Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os planos tangentes ao gráfico da função
no ponto
. Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com planos tangentes a superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar das derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície em cada direção, o que é essencial para determinar o plano tangente.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado
:
Esses valores de derivadas parciais nos dizem como a superfície está inclinada nas direções de
e
no ponto específico.
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, substituímos todos os valores na fórmula:
Simplificando:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é dado por:
Exercícios relacionados
Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que
Calcule a derivada de
nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de
.
Calculai o produto vetorial
entre os vetores
e vabaixo assim como a área do paralelogramo formado por eles.
d) e
.
d)
Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que