Obtenha os planos tangentes ao gráfico no ponto dado: no ponto em que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os planos tangentes ao gráfico da função no ponto . Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com planos tangentes a superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar das derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície em cada direção, o que é essencial para determinar o plano tangente.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
Esses valores de derivadas parciais nos dizem como a superfície está inclinada nas direções de e no ponto específico.

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Primeiro, vamos calcular :
Agora, substituímos todos os valores na fórmula:
Simplificando:

Resposta

O plano tangente ao gráfico de no ponto é dado por:

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d) e .
Obtenha os planos tangentes ao gráfico no ponto dado: no ponto em que