Calcule a derivada de nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de .

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos calcular a derivada dela nos pontos onde essa derivada existe. Além disso, vamos comentar sobre a analiticidade dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, como a derivada de funções de variáveis complexas e o que significa uma função ser analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta, a derivada dela é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
A derivada da função externa em relação a é . A função interna é , cuja derivada em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos falar sobre onde essa derivada existe. No cálculo complexo, se uma função é derivável em todos os pontos do plano complexo, dizemos que ela é analítica em todo lugar (ou “entire” em inglês). Funções como o seno, o cosseno, e polinômios são exemplos de funções analíticas em todo o plano complexo porque elas são diferenciáveis em todos os pontos.

Passo 5

No caso da nossa função , como o seno é uma função inteira e é um polinômio, a composição das duas também é uma função inteira. Isso significa que é derivável em todos os pontos do plano complexo, ou seja, é analítica em todo lugar.

Resposta

A derivada de é . Além disso, é uma função analítica em todo o plano complexo.

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