Calcule a derivada de
nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma função
e precisamos calcular a derivada dela nos pontos onde essa derivada existe. Além disso, vamos comentar sobre a analiticidade dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, como a derivada de funções de variáveis complexas e o que significa uma função ser analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta, a derivada dela é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
A derivada da função externa
em relação a
é
. A função interna é
, cuja derivada em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos falar sobre onde essa derivada existe. No cálculo complexo, se uma função é derivável em todos os pontos do plano complexo, dizemos que ela é analítica em todo lugar (ou “entire” em inglês). Funções como o seno, o cosseno, e polinômios são exemplos de funções analíticas em todo o plano complexo porque elas são diferenciáveis em todos os pontos.
Passo 5
No caso da nossa função
, como o seno é uma função inteira e
é um polinômio, a composição das duas também é uma função inteira. Isso significa que
é derivável em todos os pontos do plano complexo, ou seja, é analítica em todo lugar.
Resposta
A derivada de
é
. Além disso,
é uma função analítica em todo o plano complexo.
Exercícios relacionados
Resolva
.
(Dica: faça . Calcule
usando a fórmula de raízes complexas
.)
(Dica: faça
Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que
Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que
Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular
ou
como indicado.