Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular
ou
como indicado.
Passo 1
Vamos resolver a transformada de Laplace de
. Para isso, vamos usar as propriedades de derivadas das transformadas de Laplace. Precisamos lembrar da transformada de
e da regra que relaciona a multiplicação por
com derivadas na variável
.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a transformada de Laplace de
é:
Esse é um resultado padrão que vamos utilizar.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
. Existe uma propriedade que diz:
onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Aplicando a propriedade, temos:
Agora precisamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada:
Passo 6
Agora, a segunda derivada:
Vamos usar a regra do quociente para derivar:
onde
e
.
Calculando
e
:
Substituindo na fórmula do quociente:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace de
é: