Obtenha os planos tangentes ao gráfico no ponto dado: no ponto em que

Passo 1

Beleza, então temos um exercício de cálculo que pede pra gente encontrar os planos tangentes ao gráfico da função no ponto . A matéria aqui envolve cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais para determinar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Ele é uma superfície que “tange” o gráfico da função em um ponto específico, ou seja, toca o gráfico naquele ponto e tem a mesma inclinação que o gráfico naquele ponto.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos da função no ponto dado e das suas derivadas parciais em relação a e nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do quociente:

Passo 6

Agora, a derivada parcial em relação a :
Novamente, usando a regra do quociente:

Passo 7

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :

Passo 8

Agora que temos , e , podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

O plano tangente ao gráfico de no ponto é dado por:

Exercícios relacionados

Provai as relações abaixo.
a) .
Obtenha os planos tangentes ao gráfico no ponto dado: no ponto em que
Resolva .
(Dica: faça . Calcule usando a fórmula de raízes complexas .)
Calcule a derivada de nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de .