Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que
Passo 1
Beleza, então temos um exercício de cálculo que pede pra gente encontrar os planos tangentes ao gráfico da função
no ponto
. A matéria aqui envolve cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais para determinar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Ele é uma superfície que “tange” o gráfico da função em um ponto específico, ou seja, toca o gráfico naquele ponto e tem a mesma inclinação que o gráfico naquele ponto.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos da função
no ponto dado e das suas derivadas parciais em relação a
e
nesse ponto.
Passo 4
Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Passo 6
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Novamente, usando a regra do quociente:
Passo 7
Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora que temos
,
e
, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é dado por:
Exercícios relacionados
Provai as relações abaixo.
a) .
a)
Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que
Resolva
.
(Dica: faça . Calcule
usando a fórmula de raízes complexas
.)
(Dica: faça
Calcule a derivada de
nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de
.