Obtenha os planos tangentes ao gráfico f(x, y) no ponto dado: f(x, y) = (x + y) / (x - y) no ponto em que (x0, y0) = (0, 1)

Passo 1

Beleza, então temos um exercício de cálculo que pede pra gente encontrar os planos tangentes ao gráfico da função no ponto . A matéria aqui envolve cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais para determinar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Ele é uma superfície que “tange” o gráfico da função em um ponto específico, ou seja, toca o gráfico naquele ponto e tem a mesma inclinação que o gráfico naquele ponto.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos da função no ponto dado e das suas derivadas parciais em relação a e nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do quociente:

Passo 6

Agora, a derivada parcial em relação a :
Novamente, usando a regra do quociente:

Passo 7

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :

Passo 8

Agora que temos , e , podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

O plano tangente ao gráfico de no ponto é dado por:

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