Obtenha os planos tangentes ao gráfico f(x, y) no ponto dado: f(x, y) = 4 x^5 / (1 + y^5) no ponto em que (x0, y0) = (1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os planos tangentes ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável independente, nesse caso, e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto dado . Isso significa substituir e por 1 na função.
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram a inclinação da função em cada direção.
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Para :
Para :
Então, e .

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O plano tangente ao gráfico de no ponto é:

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