Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os planos tangentes ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável independente, nesse caso,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto dado
. Isso significa substituir
e
por 1 na função.
Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram a inclinação da função em cada direção.
Primeiro, vamos derivar em relação a
:
Em seguida, derivamos em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
Para
:
Para
:
Então,
e
.
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de
nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de
.
Resolva
.
(Dica: faça . Calcule
usando a fórmula de raízes complexas
.)
(Dica: faça
Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular
ou
como indicado.
Dado o conjunto de pontos experimentais abaixo, ajuste uma reta
utilizando o método dos mínimos quadrados.