Obtenha os planos tangentes ao gráfico no ponto dado: no ponto em que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os planos tangentes ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável independente, nesse caso, e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto dado . Isso significa substituir e por 1 na função.
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram a inclinação da função em cada direção.
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Para :
Para :
Então, e .

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O plano tangente ao gráfico de no ponto é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada de nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de .
Resolva .
(Dica: faça . Calcule usando a fórmula de raízes complexas .)
Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular ou como indicado.
Dado o conjunto de pontos experimentais abaixo, ajuste uma reta utilizando o método dos mínimos quadrados.