O raio de um cilindro reto está aumentando em uma taxa de enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de . Qual a taxa de variação do volume do cilindro em relação ao tempo quando seu raio é de 10 cm e sua altura é de 5 cm ?
Obs: Lembre-se que a fórmula do volume de um cilindro reto é , em que é o raio da base e sua altura.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem um cilindro reto cujo raio está aumentando a uma taxa de e a altura está diminuindo a uma taxa de . Queremos descobrir como o volume desse cilindro está mudando no momento em que o raio é e a altura é . Para resolver isso, vamos usar a fórmula do volume do cilindro e um pouquinho de cálculo, especificamente derivadas em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cilindro reto:
onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base,
  • é a altura.
Como tanto o raio quanto a altura estão mudando com o tempo, o volume também vai mudar com o tempo. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 3

Para encontrar , vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo. Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Aqui, é a taxa de variação do raio e é a taxa de variação da altura.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que a gente conhece:
  • (negativo porque a altura está diminuindo)
Substituindo na equação:

Passo 5

Vamos calcular dentro dos parênteses:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
Então:

Resposta

A taxa de variação do volume do cilindro em relação ao tempo é , ou seja, o volume está aumentando a uma taxa de .

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