O raio de um cilindro reto está aumentando em uma taxa de
enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de
. Qual a taxa de variação do volume do cilindro em relação ao tempo quando seu raio é de 10 cm e sua altura é de 5 cm ?
Obs: Lembre-se que a fórmula do volume de um cilindro reto é
, em que
é o raio da base e
sua altura.
Obs: Lembre-se que a fórmula do volume de um cilindro reto é
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem um cilindro reto cujo raio está aumentando a uma taxa de
e a altura está diminuindo a uma taxa de
. Queremos descobrir como o volume desse cilindro está mudando no momento em que o raio é
e a altura é
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do volume do cilindro e um pouquinho de cálculo, especificamente derivadas em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cilindro reto:
onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura.
Como tanto o raio quanto a altura estão mudando com o tempo, o volume também vai mudar com o tempo. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo. Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Aqui,
é a taxa de variação do raio e
é a taxa de variação da altura.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que a gente conhece:
-
-
-
-
(negativo porque a altura está diminuindo)
Substituindo na equação:
Passo 5
Vamos calcular dentro dos parênteses:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Então:
Resposta
A taxa de variação do volume do cilindro em relação ao tempo é
, ou seja, o volume está aumentando a uma taxa de
.