Encontre os pontos críticos de
, e classifique-os.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los. Isso vai envolver um pouco de cálculo, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar calcular as derivadas de
em relação a
e
, igualar elas a zero e resolver o sistema de equações resultante. Depois, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos encontrados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Ponto crítico ocorre quando ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação para
:
Resolvendo a segunda equação para
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Agora que encontramos o ponto crítico
, vamos classificá-lo usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais.
A segunda derivada parcial de
em relação a
é:
A segunda derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada mista é:
Passo 5
Com essas derivadas, vamos calcular o discriminante
:
Como
e
, isso significa que o ponto crítico
é um mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico da função é
e ele é um ponto de mínimo local.
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