Encontre os pontos críticos de , e classifique-os.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e classificá-los. Isso vai envolver um pouco de cálculo, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar calcular as derivadas de em relação a e , igualar elas a zero e resolver o sistema de equações resultante. Depois, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos encontrados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Ponto crítico ocorre quando ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação para :
Resolvendo a segunda equação para :
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto crítico , vamos classificá-lo usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais.
A segunda derivada parcial de em relação a é:
A segunda derivada parcial de em relação a é:
E a derivada mista é:

Passo 5

Com essas derivadas, vamos calcular o discriminante :
Como e , isso significa que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico da função é e ele é um ponto de mínimo local.

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