Calcule a derivada da função dada e determine a equação da reta tangente a curva da função no ponto dado.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos a função e queremos calcular a sua derivada. Depois, com essa derivada, vamos determinar a equação da reta tangente à curva dessa função no ponto onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivação e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . Para isso, reescrevemos a função de uma forma que facilite a derivação:
Agora, aplicamos a regra do poder para derivadas, que nos diz que:
Aplicando essa regra à nossa função:
Então, a derivada é:

Passo 3

Com a derivada em mãos, vamos calcular o valor dela no ponto :
Esse valor representa a inclinação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as coordenadas do ponto na curva onde . Substituímos esse valor na função original:
Então, o ponto é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma . Substituímos os valores para encontrar :

Resposta

A equação da reta tangente à curva da função no ponto é:

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Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
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Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
A reta normal à curva no ponto é a reta perpendicular à tangente no ponto . Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.
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