Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
x y = 2 para o ponto (2,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa é uma equação que relaciona e . Para achar a reta tangente, precisamos saber a inclinação dessa curva no ponto dado, ou seja, precisamos calcular a derivada de em relação a no ponto .

Passo 3

Vamos diferenciar a equação em relação a . Para isso, usamos a regra do produto:
Aplicando a regra do produto:
Aqui, representa a derivada de em relação a , que é a inclinação da curva.

Passo 4

Agora, resolvemos a equação para :
Essa é a expressão da derivada da curva .

Passo 5

Vamos calcular a inclinação no ponto . Substituímos e na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 6

Agora que temos a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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