Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Essa é uma equação que relaciona
e
. Para achar a reta tangente, precisamos saber a inclinação dessa curva no ponto dado, ou seja, precisamos calcular a derivada de
em relação a
no ponto
.
Passo 3
Vamos diferenciar a equação
em relação a
. Para isso, usamos a regra do produto:
Aplicando a regra do produto:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, que é a inclinação da curva.
Passo 4
Agora, resolvemos a equação para
:
Essa é a expressão da derivada da curva
.
Passo 5
Vamos calcular a inclinação no ponto
. Substituímos
e
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é
.
Passo 6
Agora que temos a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função dada e determine a equação da reta tangente a curva da função no ponto dado.
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
A reta normal à curva
no ponto
é a reta perpendicular à tangente no ponto
. Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.
;
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.