A reta normal à curva no ponto é a reta perpendicular à tangente no ponto . Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta normal à curva no ponto .
Conteúdo da matéria: Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para achar a inclinação da reta tangente. Depois, como a reta normal é perpendicular à tangente, vamos usar o conceito de coeficiente angular perpendicular.
O que precisamos:
  1. Derivar a função para encontrar a inclinação da tangente.
  2. Calcular a inclinação da normal usando a perpendicularidade.
  3. Usar a fórmula da reta para escrever a equação da normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A função pode ser escrita como:
Agora, derivamos termo a termo usando as regras de derivação:

Passo 3

Agora que temos a derivada, podemos encontrar a inclinação da tangente no ponto . Substituímos por na derivada:

Passo 4

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Isso significa que o coeficiente angular da normal é o negativo do inverso do coeficiente angular da tangente.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da reta para encontrar a equação da normal. A fórmula da reta passa por um ponto com inclinação é:
Substituindo pela inclinação da normal e :

Resposta

A equação da reta normal à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
Calcule a derivada da função dada e determine a equação da reta tangente a curva da função no ponto dado.
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.