A reta normal à curva no ponto é a reta perpendicular à tangente no ponto . Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta normal à curva no ponto .
Conteúdo da matéria: Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para achar a inclinação da reta tangente. Depois, como a reta normal é perpendicular à tangente, vamos usar o conceito de coeficiente angular perpendicular.
O que precisamos:
Derivar a função para encontrar a inclinação da tangente.
Calcular a inclinação da normal usando a perpendicularidade.
Usar a fórmula da reta para escrever a equação da normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A função pode ser escrita como:
Agora, derivamos termo a termo usando as regras de derivação:
Passo 3
Agora que temos a derivada, podemos encontrar a inclinação da tangente no ponto . Substituímos por na derivada:
Passo 4
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Isso significa que o coeficiente angular da normal é o negativo do inverso do coeficiente angular da tangente.
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da reta para encontrar a equação da normal. A fórmula da reta passa por um ponto com inclinação é: