A reta normal à curva
no ponto
é a reta perpendicular à tangente no ponto
. Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta normal à curva
no ponto
.
Conteúdo da matéria: Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para achar a inclinação da reta tangente. Depois, como a reta normal é perpendicular à tangente, vamos usar o conceito de coeficiente angular perpendicular.
O que precisamos:
- Derivar a função
para encontrar a inclinação da tangente. - Calcular a inclinação da normal usando a perpendicularidade.
- Usar a fórmula da reta para escrever a equação da normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A função pode ser escrita como:
Agora, derivamos termo a termo usando as regras de derivação:
Passo 3
Agora que temos a derivada, podemos encontrar a inclinação da tangente no ponto
. Substituímos
por
na derivada:
Passo 4
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Isso significa que o coeficiente angular da normal é o negativo do inverso do coeficiente angular da tangente.
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da reta para encontrar a equação da normal. A fórmula da reta passa por um ponto
com inclinação
é:
Substituindo
pela inclinação da normal e
:
Resposta
A equação da reta normal à curva
no ponto
é: