Calcule a derivada da função dada e determine a equação da reta tangente a curva da função no ponto dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a derivada da função dada e depois encontrar a equação da reta tangente à curva dessa função no ponto onde . Para isso, vamos usar as ferramentas de derivação que a gente aprende em cálculo, como regras de derivação e manipulação de expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função dada é:
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Então, simplificando, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a , e é essencial para encontrar a reta tangente. A função simplificada é:
A derivada de é . Aplicando isso:

Passo 4

Agora que temos a derivada, vamos calcular o valor dela no ponto :
Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Precisamos também do valor de para determinar o ponto pelo qual a reta tangente passa:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula da reta tangente:
Onde é a inclinação da reta, e é o ponto de tangência. Substituindo:
Se preferir, podemos deixar em forma de função:

Resposta

A derivada da função é e a equação da reta tangente à curva no ponto é .

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para o ponto
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