Calcule a derivada da função dada e determine a equação da reta tangente a curva da função no ponto dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a derivada da função dada e depois encontrar a equação da reta tangente à curva dessa função no ponto onde
. Para isso, vamos usar as ferramentas de derivação que a gente aprende em cálculo, como regras de derivação e manipulação de expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
para facilitar a derivação. A função dada é:
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Então, simplificando, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
. A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a
, e é essencial para encontrar a reta tangente. A função simplificada é:
A derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 4
Agora que temos a derivada, vamos calcular o valor dela no ponto
:
Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 5
Precisamos também do valor de
para determinar o ponto pelo qual a reta tangente passa:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula da reta tangente:
Onde
é a inclinação da reta, e
é o ponto de tangência. Substituindo:
Se preferir, podemos deixar em forma de função:
Resposta
A derivada da função é
e a equação da reta tangente à curva no ponto
é
.
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