Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Estamos trabalhando com derivadas de funções que têm expoentes variáveis, então vamos precisar usar a diferenciação logarítmica e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a diferenciação:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que é uma função de , então vamos precisar usar a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 5

No lado direito, aplicamos a regra do produto para derivar :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação original:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Finalmente, substituímos pela expressão original :
Podemos simplificar fatorando :

Resposta

A derivada da função é:

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