Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. Estamos trabalhando com derivadas de funções que têm expoentes variáveis, então vamos precisar usar a diferenciação logarítmica e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a diferenciação:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então vamos precisar usar a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 5
No lado direito, aplicamos a regra do produto para derivar
:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na equação original:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Finalmente, substituímos
pela expressão original
:
Podemos simplificar fatorando
:
Resposta
A derivada da função
é:
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