Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
1/x - 1/y = 2 para o ponto (1/4, 1/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à curva dada por no ponto (1/4, 1/2). Isso envolve cálculo de derivadas implícitas para achar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da equação da curva. Como a equação está em forma implícita (y está misturado com x), vamos usar a derivada implícita. A gente deriva ambos os lados da equação em relação a x.

Passo 3

Vamos derivar cada termo:
  • A derivada de 1/x em relação a x é .
  • A derivada de em relação a x é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de 2, que é uma constante, é 0.
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Vamos calcular o valor da derivada no ponto dado (1/4, 1/2). Substituindo x por 1/4 e y por 1/2:
Então, a inclinação da reta tangente é 4.

Passo 6

Agora que temos a inclinação (m = 4) e um ponto pela reta ( ), vamos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma mais comum, tipo :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (1/4, 1/2) é:

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