Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à curva dada por
no ponto
. Isso envolve cálculo de derivadas implícitas para achar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada
da equação da curva. Como a equação está em forma implícita (y está misturado com x), vamos usar a derivada implícita. A gente deriva ambos os lados da equação em relação a x.
Passo 3
Vamos derivar cada termo:
- A derivada de
em relação a x é . - A derivada de
em relação a x é (usando a regra da cadeia). - A derivada de 2, que é uma constante, é 0.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Vamos calcular o valor da derivada no ponto dado
. Substituindo x por
e y por
:
Então, a inclinação da reta tangente é 4.
Passo 6
Agora que temos a inclinação (m = 4) e um ponto pela reta (
), vamos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma mais comum, tipo
:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
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