Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.

Passo 1

Beleza, então a questão pede para encontrar os pontos críticos da função e dizer se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Isso envolve usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para identificar onde a inclinação da função é zero e depois classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada da função para encontrar onde a inclinação é zero. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de que tornam :
Dividindo tudo por 12 para simplificar:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 4

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando a segunda derivada. Primeiro, achamos a segunda derivada de :
Vamos avaliar em cada ponto crítico:
  1. Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo relativo.
  1. Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função são (máximo relativo) e (mínimo relativo).

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
Calcule a derivada da função dada e determine a equação da reta tangente a curva da função no ponto dado.
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.